Kievuz

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод: описание, этапы становления и примеры

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений – аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными – основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы.

Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы.

Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия.

Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода.

Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии.

Правда, позже в Александрии вышел сборник “Начало”, автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в “Элементарную геометрию”.

Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

  • все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
  • геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
  • аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

  • непротиворечивости;
  • полноты;
  • независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным.

Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом.

Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации – обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам.

Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась.

Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

  • естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
  • появились неразрешимые формулы;
  • утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

  • логические выводы;
  • термины и определения;
  • частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом.

Сегодня аксиома – это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности.

Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод – это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об эмпирических фактах. Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы – изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

  • аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
  • теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
  • бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

Источник: https://autogear.ru/article/345/396/aksiomaticheskiy-metod-opisanie-etapyi-stanovleniya-i-primeryi/

Интересные факты для тех, кто еще не знает про аксиоматический метод в математике

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод – важнейший способ структурирования, а также увеличения научных знаний среди различных областей – формировался в течение более чем двух тысячелетий научной эволюции. Фундаментальный вклад в математику вносит именно аксиоматическая методика.

Многие учёные считают математическую науку достигшей идеала только в то время, когда она пользуется аксиоматическим методом. Другими словами, когда она принимает характер аксиоматической теории.

История аксиоматического метода

Платон — один из величайших мыслителей древности

Становление сегодняшнего толкования сущности аксиоматической теории осуществлялось в течение двух десятков веков формирования науки.

Знаменитый мыслитель античных времен Платон (427-347 гг. до н.э.) был одним из первых, поставивших себе целью устроить всё научное знание с помощью дедукции.

Труды и сочинения, связанные с геометрией, стали появляться задолго до Платона, к таким относятся учебники Гиппократа Хиосского, Демокрита.

Однако только он предложил ставить во главу угла каждой науки ключевые понятия, с опорой на которые будут делаться новые открытия.

К сожалению, эта структура в его трудах прослеживается весьма неотчетливо и нечетко, черты ее лишь угадываются в его сочинении, созданном, к слову, на мистическом фундаменте.

Наследники Платона

Ещё один древний ученый — Аристотель

Учеником Платона, который смог перешагнуть эти суеверия, стал великий Аристотель.

Тот снял покров с намерений своего учителя – требований к рационализации любой науки, собрал в себе практически каждую отрасль науки.

Как считается, Аристотель и стал родоначальником научного метода, а также некоторых наук.

Согласно его трудам, наука есть ничто иное как множество положений, принадлежащих к той или иной сфере знания. К этим положениям относятся и те, которые являются столь очевидными, что в доказательстве их нет никакой необходимости – аксиомы.

Оставшиеся положения, которые нужно выводить из аксиом, – теоремы. Данная концепция им принималась в первую очередь как руководство к математике. Кстати, в появившихся всего полстолетия после «Началах» четко прослеживается отпечаток концепции Аристотеля.

Свыше двух тысяч лет труд Евклида был, по сути, непревзойденным учебником для геометров всего мира. Данное сочинение было самой первой научной книгой за всю историю.

Там геометрия полностью представлялась как аксиоматическая теория, построенная на принципах, сформулированных Аристотелем и Платоном.

Пятый постулат Евклида

Сильнее всего изучавших систему Евклида интересовал пятый постулат:

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Сложность этой формулировки по сравнению с остальными постулатами наводило ученых на мысль о доказательстве этого утверждения и таким образом исключения его из перечня постулатов.

Подобные разработки безуспешно проводились Посидонием (I в. д.н.э.), Санкери и Ламбертом (оба — XVIII).

То была самая настоящая Евклидова эра в геометрической истории, эпоха его последователей и преемников, время, когда вся геометрическая наука строилась по наивно-аксиоматическому принципу.

После столетий безуспешных попыток доказательства пятой аксиомы Евклида эта эпоха подошла к концу, оставив после себя уникальное достижение – открытие иного понимания самой геометрии в целом, аксиоматического метода ее изучения в частности.

В 1826 году на заседании математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский впервые сообщил о грандиозном открытии: «Теории параллельных прямых», в основе которой лежит V постулат.

Понимание значимости этой теории пришло не сразу – Лобачевский не только доказал независимость пятого постулата, но и вывел из этого факта, что вместе с геометрией Евклидовой существует и отличная от нее, для которой постулат этот ошибочен!

Более того, всё это открыло совершенно иной ракурс на саму суть аксиоматики. «Истинны лишь те утверждения, которые могут быть с помощью логики выведены из существующих аксиом» — говорил Лобачевский.

Помимо всего прочего, неевклидова геометрия доказала неправоту ученых, считавших Евклидову геометрию единственным возможным учением о пространстве.

Работы Д. Гильберта

Приблизительно в начале второй половины XIX века математическое общество в большинстве своём признало заслуги Лобачевского и приступило к последующему развитию его идей.

Тогда ещё острее стала дилемма построения геометрии на основании аксиом. Публиковались работы, связанные с этим, в том числе набравшая популярность работа Д. Гильберта «Основания геометрии» (1889).

В своем труде автор описал полную аксиоматическую теорию геометрии Евклида, то есть несколько положений, на основании которых могли доказываться другие. Далее автор доказывает нелогичность и раскрывает множественные противоречия данной системы.

После выхода книги все вопросы про логическое обоснование аксиоматической теории были полностью закрыты. Помимо этого, до конца поняты столпы, характеризующие структуру такого подхода к пониманию геометрической науки и структура аксиоматики в целом.

Приняты основы построения аксиоматических теорий и выявлены вопросы, требующие ответа при ее построении – те, что связаны с неоднозначностью, согласованностью данной теории и правильности ее аксиоматической системы.

Разные аксиоматические системы, построенные на отличающихся базисных понятиях, были обычным делом и до книги Гильберта, и после (до самого начала 20-го века). Так завершился следующий шаг эволюции аксиоматики и построения геометрии за счёт нее.

Источник: https://vyuchit.work/samorazvitie/sekretyi/aksiomaticheskij-metod-v-matematike.html

ovdmitjb

Add comment