Kievuz

Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры

Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры
Прежде чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудимнесколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом. Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду илибактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особейв популяции в этот момент времени.

Это предположение кажется разумным (какая-точасть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточноеколичество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени t черезx(t). Тогда мгновенная скорость роста равна dx(t)dt. Обычнопроизводная по переменной t обозначается точкой ˙x(t), а не штрихом.

Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать так:

˙x(t)=kx(t),(1.1)

где k>0 — коэффициент пропорциональности (константа). Зависимость от t обычно опускают и пишут просто

˙x=kx.(1.2)

Это — одно из простейших (и важнейших) дифференциальных уравнений. Неизвестнойвеличиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и невектор (как в линейной алгебре), а функция x(t).

Согласно модели Солоу, скорость прироста капиталовооруженности экономики(количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) впредположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и ростанаселения, описывается формулой

˙k=sf(k)−δk,

где k=k(t) — капиталовооруженность экономики в момент времени t, s —норма сбережения, δ — норма выбытия капитала.Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я егоотпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решатьдифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз.

Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранеенакопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от временибудем обращаться к механическим примерам.

Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени t есть y(t).

Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большойвысоте) действует сила тяжести, равная

F=−mg,

где m — масса тела, g — ускорение свободного падения (примерно равно 9.8 м/с2),знак «-» выбран, поскольку сила тяжести действует в направлении «вниз» (противнаправления роста y).

Трением мы будем пренебрегать и считать, что никакихдругих сил на шарик не действует.

Чтобы перейти к дифференциальным уравнениям, нужно вспомнить второй законНьютона, который гласит, что ускорение тела пропорционально действующейна него силе и обратно пропорционально массе:

a=F/m⇔F=ma.

Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, она обозначаетсядвумя точками. Таким образом, мы имеем дифференциальное уравнение, описывающеедвижение шарика:

¨y=−g.(1.3)

Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём сотносительно общего определения. Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

˙x=f(t,x),(1.4)

где x=x(t) — неизвестная функция, f(t,x) — известная функция двухпеременных. Мы пока что будем рассматривать уравнения, в которых областьюзначений неизвестной функции являются вещественные числа R, но чутьпозже обсудим и более сложные случаи, когда x принимает значение в многомерныхпространствах. Также отметим, что в уравнении (1.

4) фигурируеттолько первая производная неизвестной функции — это уравнение первогопорядка. Позже мы обсудим, что делать с уравнениями более высоких порядков(например, таких как (1.3)). Пока же остановимся на рассмотренииуравнений вида (1.4).

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функцияx=φ(t), такая, что при подстановке её в уравнение получается верноеравенство:

˙φ(t)=f(t,φ(t))∀t∈D(f),(1.5)

где D(f) — область определения функции f: это может быть вся числовая ось,луч, отрезок, интервал или полуинтервал.

Рассмотрим несколько примеров.

1.2.2Нулевая правая часть

Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид

˙x=0.

Его решениями являются функции x(t)=C, где C — любая константа.Действительно, если функция имеет нулевую производную и при этом всюдудифференцируема, то она не меняется и значит равна константе. Заметим, что дажев таком простейшем случае мы имеем не одно, а сразу целое семейство решений.Аналогичная ситуация будет и в более сложных примерах. Чуть более сложное уравнение:

˙x=k,

где k — константа. Это уравнение движения с постоянной скоростью, егорешениями являются всевозможные линейные функции

x(t)=kt+C,

Заметим, что в этом случае константа C задаёт значение функции в начальныймомент времени t=0. Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция f(t,x) в правой части(1.4) на самом деле не зависит от x.

˙x=f(t).(1.6)

Задачу отыскания решения такого дифференциального уравнения можно сформулироватьследующим образом: для каждого значения независимой переменной t известнапроизводная некоторой функции; найти эту функцию.

Нетрудно видеть, что этов точности задача интегрирования (отыскания первообразной).

Решение такогоуравнения задаётся таким образом неопределенным интегралом, который можнозаписать в виде

x(t)=∫f(t)dt=∫tt0f(τ)dτ+C.(1.7)

Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записиего в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указыватьконстанту интегрирования явным образом.

Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычновместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительноесоотношение, называемое начальным условием — значение решения в какой-томомент времени (не обязательно t=0) полагают равным константе.

Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, чтопоставлена задача Коши (по-английски Initial Value Problem).Например, можно рассмотреть такую задачу:

˙x=f(t),x(5)=0(1.8)

Eё решением будет уже только одна функция:

x(t)=∫t5f(τ)dτ(1.9)

Действительно, любой интеграл вида (1.7) является решением уравнения(1.6), а значит, и функция в (1.9) им является.Остаётся проверить начальное условие. При подстановке t=5 решениеx(5)=∫55f(τ)dτ=0, то есть начальное условие выполняется.Вопрос 1. Каким будет решение уравнения (1.6) при начальном условии x(5)=1?  x(t)=∫15f(τ)dτ

Неверно, эта функция вообще является константой.

  x(t)=∫t5f(σ)dσ+1

Верно!

  x(t)=∫ttf(τ)dτ+1

Неверно, обратите внимание на пределы интегрирования.

1.2.6Простейшее линейное уравнение

Положим в уравнении роста населения k=1. Получим следующее уравнение:

˙x=x(1.10)

Какие функции будут его решениями? Словами можно сказать, что условие,накладываемое этим уравнением, звучит так: «Производная функции равна самой этойфункции». Одна известная функция обладает таким свойством — это экспонентаx(t)=et.

Нетрудно видеть, что если умножить экспоненту на любое число,получающаяся функция x(t)=Cet также будет решением этого уравнения. Вчастности, очевидно, что решением будет функция x(t)≡0.Вопрос 2. Является ли решением уравнения (1.10) функция x(t)=et+C при C≠0?  Да, при любых C≠0.

Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение ипосчитать производную.

  При некоторых C≠0 является, а при других нет.

Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение ипосчитать производную.

  Не является ни при каких C≠0.

Верно, если подставить функцию в уравнение, Cуничтожится при дифференцировании в левой части, но не уничтожится вправой. Таким образом, уравнение (1.10) принципиальноотличается от уравнений вида (1.6), рассмотренных ранее.

1.3Геометрические объекты

В рассмотренных выше примерах неизвестная функция x(t) принимала значения вомножестве вещественных чисел. В общем случае функция x(t) может приниматьзначения в других множествах — например, в многомерных пространствах.

Множество,в котором принимает значение неизвестная функция (или, иными словами, множествовсевозможных значений x(t) при каком-нибудь фиксированном t) называетсяфазовым пространством дифференциального уравнения. Множество точек вида(t,x) (декартово произведение фазового пространства на ось времени) называетсярасширенным фазовым пространством.

График решения называется интегральнойкривой. Интегральные кривые живут в расширенном фазовом пространстве. Построим некоторые интегральные кривые для уравнения ˙x=x. Как мы ужезнаем, ими будут графики экспонент. import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport qqmbr.odebook as ob# see https://github.

com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 6)ob.axes4x4()initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]initials.extend([-x for x in initials])initials.append(0)for C in initials: ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda t, C=C: C * np.

exp(t), color='steelblue', linewidth=1.5) Рис. 1.

1: Графики решений дифференциального уравнения ˙x=xЕсли бы мы не знали, какие на самом деле решения нашего дифференциальногоуравнения (а это наиболее распространенный случай, чаще всего дифференциальныеуравнения не решаются явно), мы всё равно могли бы примерно представить себе,как выглядят интегральные кривые.

Чтобы это сделать, нам нужно построитьполе направлений или поле прямых.

Вот что это такое. Возьмём произвольную точку P=(t0,x0) расширенногофазового пространства. Например, t0=1, x0=3. Мы можем провести в точке Pкасательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Действительно,чтобы провести прямую через фиксированную точку, нужно знать только её угловойкоэффициент, но угловой коэффициент касательной к графику некоторой функцииравняется производной этой функции. А производную решения мы знаем, поопределению решения она равна правой части уравнения. Для уравнения(1.10) правая часть в точке x равна x и, значит, касательная,проходящая через точку P, имеет угловой коэффициент, равный x0=3. Можновзять ещё несколько точек на прямой t=1 и провести соответствующие касательныечерез них. Получится такая картинка, см. рис. 1.2.

import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport qqmbr.odebook as ob# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py ob.axes4x4()xs=range(-4,5)plt.scatter([1] * len(xs),xs)for x0 in xs: ob.mplot(np.linspace(0,5), lambda t, x0=x0: x0 * (t – 1) + x0, linestyle='dashed', linewidth=0.5, color='black') ob.mplot(np.linspace(1 – 0.2, 1 + 0.2), lambda t, x0=x0: x0 * (t – 1) + x0, color='red', linewidth=1.5)Рис. 1.2: Касательные к решениям

Вопрос 3. Почему прямые пересекаются в начале координат?

Понятно, что можно, действуя аналогично, построить касательные к решениям нетолько в выбранных точках, но и вообще в любой точке расширенного фазовогопространства. В данном случае правая часть не зависит от t явно, поэтому черезлюбые две точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, будут проходитьпараллельные касательные. Мы будем рисовать только маленькие кусочки этихкасательных.

import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport qqmbr.odebook as ob# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.cla()ob.axes4x4()ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5), np.arange(-4, 4, 0.5), lambda x, y: y, color='red', linewidth=1.5, length=0.6)Рис. 1.3: Поле направленийНа картинке изображены прямые, проходящие через какие-то конкретные точки, но насамом деле такая прямая может быть проведена через любую точку. Вся совокупностьэтих прямых и будет полем направлений. import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport qqmbr.odebook as ob# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.cla()ob.axes4x4()ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5), np.arange(-4, 4, 0.5), lambda x, y: y,color='red', linewidth=1.5, length=0.6)initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]initials.extend([-x for x in initials])initials.append(0)for C in initials: ob.mplot(np.linspace(-4, 4), lambda t, C=C: C * np.exp(t), color='steelblue', linewidth=1.5) Рис. 1.

4: Поле направлений и интегральные кривыеТеперь задача отыскания решения дифференциального уравнения сводится к такойгеометрической задаче: нужно найти кривую, которая в каждой своей точке касаетсяпрямой, принадлежащей полю направлений и проходящей через эту точку.

Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.

1.4Выводы

Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которыхучаствует время. Предмет рассмотрения нашего курса — обыкновенные дифференциальные уравнения, они имеют вид ˙x=f(t,x), где x=x(t) — неизвестная функция,определённая на всей оси t или на какой-то его связной компоненте (отрезке,интервале, полуинтервале, луче).

Решением дифференциального уравнения всегдаявляется семейство функций; чтобы выбрать из них одну, нужно задать начальноеусловие. Множество всех возможных значений функции x называется фазовымпространством, а его декартово произведение на ось времени — расширенным фазовымпространством. График решения (кривая в расширенном фазовом пространстве)называется интегральной кривой.

Если в каждой точке расширенного фазовогопространства провести прямую, уголовой коэффициент которой равен значению правойчасти уравнения в этой точке, то получится поле прямых или поленаправлений. Всякая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямую из поля прямых, проходящую через данную точку.

Мы рассмотрели ряд примеров и ввели много новых понятий, но пока ничего неговорили о самом интригующем: как всё-таки решать дифференциальные уравнения?Короткий ответ неутешителен: дифференциальные уравнения обычно не решаются явно.(Если вас это расстраивает, подумайте о том, что обычные алгебраическиеуравнения начиная с пятой степени тоже как правило не решаются явно.

) Тем неменее, мы научимся решать уравнения некоторых специальных классов (займёмся этимуже в следующей главе), а затем обсудим, что можно сделать с теми уравнения,которые не решаются.

Источник: http://math-info.hse.ru/odebook/

Дифференциальные уравнения Основные понятия

Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры

Уравнения,связывающие независимую переменную,искомую функцию и ее производные,называются дифференциальными.

Общий виддифференциальных уравнений: F(x,y,y’,y’’..y’’’)= 0

Решениемдифференциального уравнения называетсяфункция, которая при подстановке вуравнение обращает его в тождество.

Наивысшийпорядок производной, входящей в ДУ,называется порядкомэтого уравнения.

Процессотыскания решения ДУ называется егоинтегрированием.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновеннымдифференциальным уравнением первогопорядканазывается уравнение видаF(x,y, y')=0, где F— известная функция трех переменных,x—независимая переменная, y(x)— искомая функция, y'(x)— ее производная.  Если уравнениеF(x,y, y')=0 можно разрешить относительно y',то его записывают в виде y'=f(x,y)

Уравнениеy'=f(x,y)устанавливает связь между координатамиточки (x,y) иугловым коэффициентом y'касательной к интегральной кривой,проходящей через эту точку.

Дифференциальноеуравнение первого порядка, разрешенноеотносительно производной, можно записатьв дифференциальнойформе:

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,

ГдеP(x;y)иQ(x;y)– известные функции. УравнениеP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0удобнотем, что переменные в нем равноправны,т.е. любую из них можно рассматриватькак функцию другой.

Еслидифференциальное уравнение первогопорядка y'=f(x,y),имеет решение, то   решений у него,вообще говоря, бесконечно много и этирешения могут быть записаны в видеy=φ(x,C),где C—произвольная константа.

Функцияy=φ(x,C)называется общимрешениемдифференциальногоуравнения 1-го порядка. Она содержитодну произвольную постоянную иудовлетворяет условиям:

  1. Функция y=φ(x,C) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С.

  2. Каково бы ни было начальное условие y(x0)=y0, можно найти такое значение постоянной С=С0 , что функция y=φ(x,C0) удовлетворяет данному начальному условию.

ЧастнымрешениемДУпервого порядка называется любая функцияy=φ(x,C0),полученная из общего решения y=φ(x,C)при конкретном значении постояннойС=С0.

Задачаотыскания решения ДУ первого порядкаP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,удовлетворяющего заданному начальномуусловию y(x0)=y0,называется задачейКоши.

Теорема(существования и единственности решениязадачи Коши).

Еслив уравнении y'=f(x,y)функция f(x,y)и ее частная производная f'y(x,y)непрерывны в некоторой области D,содержащейточку (x0;y0),тосуществует единственное решение y=φ(x)этого уравнения, удовлетворяющееначальному условию y(x0)=y0. (без доказательства)

Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболеепростым ДУ первого порядка являетсяуравнение вида

P(x)dx+Q(y)dy=0.

Внем одно слагаемое зависит только отx,а другое – отy.Иногда такие ДУназывают уравнениями с разделеннымипеременными.Проинтегрировав почленно это уравнение,получаем:

P(x)dx+Q(y)dy=с– его общий интеграл.

Болееобщий случай описывают уравнения сразделяющимися переменными, которыеимеют вид:

P1(x). Q1(y).dx+ P2(x).Q2(y).dy=0.

Особенностьэтого уравнения в том, что коэффициентыпредставляют собой произведения двухфункций, одна из которых зависит толькоот хдругая – только от у.

УравнениеP1(x). Q1(y).dx+P2(x).Q2(y).

dy=0легко сводится куравнению P(x)dx+Q(y)dy=0.путем почленногоделения его на Q1(y).

P2(x)≠0.Получаем:

,-общий интеграл.

Источник: https://StudFiles.net/preview/601282/

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные у', у”,… y(n), т.е. уравнение вид…

Используем метод Лагранжа, выбрав общее решение исходного решения в виде у =x

Подставим это выражение в исходное уравнение

C'(x) *x – C(x) | 1 C(x)3x x2 x x

В итоге находим:

С'(х) = 3 x; С(х) = x + С1.

Общее решение исходного уравнения:

ЗАДАНИЕ.

Решить дифференциальные уравнения:

1) y'+2y = Ј ¦

Ответ: y = C * Ј-2x + Ј-x.

  • 2). y' + 2xy = Ј `
  • 3). y'+2xy = x * Ј'

Ответ: y = (C + x) * Ј-

2 X2

Ответ: y = Ј-X * (– + c).

4) . y' + y = 2

Ответ: y =

x2 + c

5) . xy' – y = x cos x.

Ответ: y = x (sin x + C).

6). Решить задачу Коши: y' + y * cos x = cos x Начальные условия y(0) = 1.

Ответ: y = 1.

7) Между силой тока i и электродвижущей силой Е в электрической цепи с сопротивлением R и самоиндукцией L существует следующая зависимость:

Дифференциальные уравнения n-го порядка

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

Р(у,у',у”,…, y(n)) = 0. (2.24)

Решением такого уравнения является n раз дифференцируемая функция у = 9(x), которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.

F[x,9(x), ф '(x),., 9(n)(x)] = 0. (2.25)

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти такое решение у = ф) уравнения (2.24), которое удовлетворяет условиям: ф) = у0; ф') = у1,…, Ф(n-1)(xo) = уп-1. Здесь у0,у1,у0,., уп-1 – заданные числа.

Функция у = (х,С1,С2,… Сп) называется общим решением уравнения (2.22), если при соответствующем выборе постоянных С1, С2,…, Сп эта функция является решением любой задачи Коши.

Всякое решение уравнения (2.24), полученное при конкретных значениях постоянных С1, С2,…, Сп, называется частным решением дифференциального уравнения (2.24).

Рассмотрим интегрирование некоторых дифференциальных уравнений n-го порядка.

1. Уравнение вида y(n) = f(x)

Решение этого уравнения находится п-кратным интегрированием, а именно

у(п) = f(x); у(п`1) = j f(x)dx + C,;

xn-1

у = J… j f(x)dx…dx + Cj +… + Cn-1 * x + Cn. (2.26)

ПРИМЕР 1

Найти общее и частное решения уравнения у'' = t2 удовлетворяющие начальным условиям: у(0) = 1, у'(0) = 0.

Решение.

у' = j 12xdx + Ci = 112x + Ci.

Тогда общее решение:

у = J (112x + С1 ) dx = 112x + С1х + С2.

Удовлетворим начальным условиям:

у(0) =1 + С2=1; у'(0) = 1 + С1

2. Дифференциальное уравнение вида

F(x,yw, у(к+|),…, y(n)) = 0, которое не содержит искомой функции.

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е.

U = у(к).

В результате получаем уравнение

F(x,U,U',…, и0″0) = 0. (2.27)

Решить уравнение

ПРИМЕР 2.

x * у'' = у'.

3. Дифференциальное уравнение вида

F(y,y',…, y(n)) = 0, которое не содержит независимой переменной. Для решения этого уравнения за новый аргумент принимают саму функцию у, а также вводят замену y' = U.

Тогда y” = U *dU, y = U * [d-U * U + (dU)2] и т.д. (2.28)

ПРИМЕР 3.

Решить уравнение y * y'' = (y').

Решение.

Примем U = y'. Тогда y'' = U dU

Исходное уравнение запишем в виде y * UdU = U2.

Его решение: U = C1y.

Тогда — = C1y. Запишем: — = C1dx. dx y

Его решение: ln y = C1 * x + ln C2.

Окончательно: y = C2 * Ј 1X.

ЗАДАНИЕ.

Решить уравнения n-го порядка:

  • 1) .y'' = x * Ј-x. Ответ: y = (x + 2) * Ј-x + C1x + C2.
  • 2). y'' + (y')2 = 0. Ответ: y = C1, C2 + Јy = C3x.
  • 3). x * y'' = y'. Ответ: y = C1x2 + C2.
  • 4). Задача Коши: y'' + y' + 2 = 0.

Начальные условия: y(0) = 0, y'(0) = -2. Ответ: y = -2x.

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

у + a * у(п 1) +… an-1 * у' + an * у = 0, (2.29)

где a1, a2,., an – некоторые действительные числа.

Для решения этого уравнения составляют характеристическое уравнение

кп + a1 * кп1 +. + an-1 * к + an = 0. (2.30)

Это уравнение (2.29) является уравнением n-ой степени и имеет n корней: они могут быть простыми, кратными и комплексными. Тогда общее решение дифференциального уравнения (2.29) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения (2.30):

  • 1) каждому действительному простому корню к в общем решении соответствует слагаемое вида: C * tкх; (2,31)
  • 2) каждому действительному корню к кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида:
    • (C1 + C2 * x… Cm * x1”-1) * t(2.32)
  • 3) каждой паре комплексных корней к1 = a + ip и к2 = a – ip в общем решении соответствует слагаемое вида:

tах (Crcos px + C2 * sin px); (2.33)

4) каждой паре комплексных сопряженных корней к1 = a + ip и к2 = a – ip кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида:

tax * [(C1 + C2 * x +… + Cm * x”-1)] * cos px + (D1 + D2X +… Dm * x”-1) sin px]. (2.34)

ПРИМЕР 1.

Найти общее решение ДУ:

у” – 7у' + 6у = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к2 – 7к + 6 = 0.

Его корни: к1 = 6, к2 = 1.

Следовательно, общее решение данного ДУ:

у = Cr t6x + C2- tx.

ПРИМЕР 2.

Найти общее решение уравнения

у''' – 6у'' + 12у' – 8 = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к3 – 6к2 + 12к – 8=(к – 2)3= 0.

Его корни: к1 = к2 = к3 = 2, т.е. к = 2 – корень кратности 3. Следовательно, общее решение исходного уравнения: у=(С1 + С2 * x + + Сз * х2) * t 2х.

ПРИМЕР 3.

Найти общее решение уравнения

у” – 4у' + 13у' = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к” – 4к + 13 = 0.

Его корни:

к1 = 2 + 3i, к2 = 2 + 3i.

Следовательно, общее решение исходного уравнения: у = t 2х * (С1 * cos 3x + С2 * sin 3x).

ЗАДАНИЕ.

Найти общее решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

1). у'' + 5у' + 6у = 0.

Ответ: у = С1 * t-3x + С2t-2x;

2). у” – 2y +10y = 0.

Ответ: у = tx * (С1 * cos 3x + С2 * sin 3x);

3). y'' + 3y' – 4y = 0.

Ответ: у = С11x + С2 * t 4x;

4). y” – 2y'+ 4y = 0.

Ответ: у = tx * (С1 cosV- x+ С2 sinV- x).

5). y''' – 3y'' + 3y' – y= 0.

Ответ: у = tx * (С1 + С2х + С3х2);

6). x''' + 2x” – 3x' = 0.

Ответ: x = С1 + С21-t + С3 t3t;

7). x''' – 8x = 0.

Ответ: x = С112t + t-t (QcosV-1 + sinT-1);

Page 3

Линейным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y(n) + ary(n-1) +. an-1 * y' + any = f(x), (2.35)

где a1, a2…, an – некоторые действительные числа.

Общее решение неоднородного уравнения (2.35) складывается из любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения вида (2.29):

y(x) = y0(x) + U(x). (2.38)

Если правая часть уравнения (2. 35) имеет вид

f(x) = Јax * [Pn (x) * cos p x + Qm(x) * sinpx], (2.39)

то для подбора частного решения этого уравнения применяют метод неопределенных коэффициентов.

Согласно этому методу частное решение уравнения (2.38) следует искать в виде

U(x) = xr * Јax * [PЈ (x) * cos px + QЈ(x) * sin px]. (2.40)

Здесь r – показатель кратности корня a + ip в характеристическом уравнении к1 + a1 * к1-1 +… an-1 * к + an = 0.

Если же характеристическое уравнение такого корня не имеет, то частное решение ищется в виде

U(x) = Јax * [P Ј (x) * cos px + Q Ј (x) * sin px], (2.41)

Многочлены P Ј (x) и Q Ј (x) с неопределенными коэффициентами имеют порядок, который равен наибольшему из порядков многочленов Pn (x) и Qm(x) исходной правой части уравнения (2.40) и имеют вид:

P Ј (x) = A0 * xЈ + A1 * xЈ -1 +… A Ј. (2.42)

QЈ(x) = B0 * xЈ + B1 * xЈ-1 +… BЈ.

Для определения неизвестных коэффициентов A0, A1,. AЈ и В0, В1,…, В Ј частное решение U = U(x) вида (2.40) и (2.41) подставляют в исходное уравнение (2.35). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений, в которых сравниваются A0, A1,… A Ј коэффициенты, а также В0, В1,… В Ј с коэффициентами при соответствующих степенях функции в правой части уравнения (2.35).

Если же правая часть уравнения (2.35) равна сумме нескольких различных функций, то для отыскания частного решения такого уравнения надо найти частные решения относительно каждой функции, а затем, согласно теореме наложения решений, сложить эти частные решения. В результате получаем частное решение исходного дифференциального уравнения (2.35) со сложной правой частью.

ПРИМЕР 1.

Найти общее решение уравнения

у'' + у' – 2у = t3x.

Решение.

Характеристическое уравнение к + к – 2 = (к – 1) (к + 2) = 0 имеет корни к1 = 1 и к2 = -2.

Тогда общее решение однородного уравнения у0 = C11 x + C21- x. Частное решение надо искать в виде:

U = A * t x.

Тогда U' = 3A * t3x, U” = 9A * t3x.

Тогда U” + U' – 2U = A * t3x (9 + 3 – 2) = t3x.

В результате общее решение неоднородного уравнения:

у = у0 + U = C11x + C2t-2x + — * t3x.

ПРИМЕР 2.

Найти общее решение:

у' + 25у = cos 5x.

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

у” + 25у = 0.

Характеристическое уравнение:

к2 + 25 = 0.

Корни:

к1 = 5i, к2 = -5i.

Общее решение однородного уравнения:

у0 = C1 * cos 5x + C2 * sin 5x.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

U = x (A * cos 5x + B sin 5x).

Вычислим:

U' = (A * cos 5x + B sin 5x) + 5x (-A * sin 5x + B cos 5x);

U” = 5(-A * sin 5x + B cos 5x) + 5x (-A sin 5x + B cos 5x) + 25 x (-A cos 5x – B sin 5x).

Тогда U'' + 25U = -10A sin 5x + 10B cos 5x = cos 5x.

Тогда A = 0, B = –.

В итоге общее решение неоднородного уравнения:

у = у0 + U = С1 * cos 5x + С2 sin 5x + — * x * sin 5x.

ПРИМЕР 3.

Решить дифференциальное уравнение

у'' + 3у' + 2у = 3x.

Решение.

Решим однородное уравнение

у'' + 3у' + 2у = 0.

Характеристическое уравнение: к + 3к + 2 = 0.

Имеет корни: к1 = -1, к2 = -2.

Поэтому общее решение однородного уравнения: у0= С1 * t-x + С21-2x

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде U = Ax + B.

При подстановке в исходное уравнение получаем:

U' = A; U” = 0; U” + 3U' + 2U = 3A + 2 (Ax+B) = 3x.

2Ax = 3x

Тогда

3A + 2B = 0'

ЗАДАНИЕ.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

1). у'' – у = 4 * tx.

Ответ: у = C1 * tx + C2 t-x + 2x * tx.

2). у'' + 4у' +5у = 8 cos x.

Ответ: у = t- x * (C1 * cos x + C2 * sin x) + 2(cos x + sin x).

3). у” – 6у' + 9у = 25 * tx * sin x.

Ответ: у = (C1 + C2x) * tx + tx * (4 cos x + 3 sin x).

4). у'' + 8у' = 8 x.

Ответ: у = Ci + C2 * t `8x + — – x.

5). у'' + 3у' – 10у = x * t `2x.

Ответ: x = C1 * t2x + C2 * t-5x + — (1-12x) t `2x.

Page 4

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В. Иногда вектор обозначают одной буквой а. Длиной |АВ| вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.Операции над векторами:

  • 1) . Если вектор а умножить на действительное число я, то получим новый вектор b, который коллинеарен вектору а, длина его в я раз больше, и при я > 0 вектор b направлен в ту же сторону, а при я < 0 в сторону, противоположную вектору а.
  • 2). Если сложить векторы а и b, то получим вектор с, который соединит начало вектора а и конец вектора b ( рис.3.1).

Рис. 3.1 Линейные операции над векторамиСкалярным произведением двух векторов а и b называется число(a, b) = |a| |b| cos ф, (3.1)где ф – угол между векторами а и b (рис. 3.2).Рис. 3.2 Скалярное произведение векторов а и bВекторным произведением векторов а и b называется вектор с, который обозначается:с = [а х b] (3.2)Вектор с определяется свойствами:

  • 1).Длина вектора |с| = |a| * |b| * sin ф, где ф – угол между векторами а и b. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма S, построенного на этих векторах.
  • 2). Вектор с перпендикулярен а и b.
  • 3). Векторы а, b, с образуют правую тройку векторов ( рис. 3.3.).

Рис. 3.3 Векторное произведение векторов а и b: с = [аЬ]

  Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Источник: https://studwood.ru/1118235/matematika_himiya_fizika/obyknovennye_differentsialnye_uravneniya

Дифференциальные уравнения!

Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры

При решении различных задач физики, химии, математики и других точных наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих одну или несколько независимых переменных, неизвестную функцию этих переменных и производные (или дифференциалы) этой функции. Такого сорта уравнения называют дифференциальными.


Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если независимых переменных две или более, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. С целью получить високовалифицированих специалистов во всех ВУЗах где изучают точные дисциплины обязательно курс дифференциальных уравнений.

Для одних студентов теория дается тяжело, практика еще с горем пополам, для других тяжелая и теория, и практика. Если анализировать дифференциальные уравнения с практической стороны, то для их вычислений Вам нужно только хорошо уметь интегрировать и брать производные. Все остальные преобразования сводятся к нескольким схемам которые можно понять и изучить.

Ниже изучем основные определения и метод решения простых ДР.

Теория дифференциальных уравнений

Определение: Обычным дифференциальным уравнением называют уравнение, которое в себе связывает независимую переменную х, функцию у(х) , ее производные у'(х), уn(х) и имеет общий вид F(x,y(x),y' (x), …, yn(x))=0
Дифференциальным уравнением (ДР) называется или обычное дифференциальное уравнение, или дифференциальное уравнение в частных производных. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной (n), которая входит в данное дифференциальное уравнение.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция, которая содержит столько постоянных, каков порядок дифференциального уравнения, и подстановка которой в данное дифференциальное уравнение превращает его в тождество, то есть имеет вид y=f(x, C1, C2, …, Cn).
Общее решение, которое не разрешено относительно у(х) и имеет вид F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0 называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Решение найденное из общего при фиксированных значениях постоянных C1,C2, …, Cn называется частным решением дифференциального уравнения.
Одновременное задания дифференциального уравнения и соответствующего количества начальных условий называется задачей Коши.
F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0 y(x0)=y0; ….

yn(x0)=yn(0)

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F(x, y, y')=0. (1)
Интегралом уравнения (1) называется cоотношение вида Ф (x,y)=0, если каждая неявно заданная им непрерывно-дифференциированая функция является решением уравнения (1).
Уравнение которое имеет вид (1) и не может быть сведено к простому виду называется уравнением, неразрешимим относительно производной. Если его можно записать в виде
y' = f(x,y), то оно называется решенным уравнением относительно производной.
Задача Коши для уравнения первого порядка содержит только одну начальную условие и имеет вид:
F(x,y,y')=0
y(x0)=y0. Уравнения вида

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)

где переменные x i y является “симметричными”: можно предполагать, что x – независимая, а y – зависимая переменная, или наоборот, y – независимая, а x – зависимая переменная, называется уравнением в симметричной форме.
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка
y'=f(x,y) (3) заключается в следующем.

Данное уравнение устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x;y) и угловым коэффициентом y' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, уравнение y'= f(x,y) представляет собой совокупность направлений (поле направлений) на декартовой плоскости Oxy.

Кривая построенная на точках в которых направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклины можно использовать для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить производную равную постоянной y'=С
f(x, y)=С – уравнение изоклины..
Интегральной линией уравнения (3) называется график решения этого уравнения.
Обычные дифференциальные уравнения, решения которых можно задать аналитически y=g(x), называются интегрируемыми уравнениями. Уравнения вида

M0(x)dx+N0(y)dy=0 (3)

называются уравнениями с раздельными сменными.
Из них и начнем знакомство с дифференциальными уравнениями. Процесс нахождения решений ДР называют интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнения с разделенными переменными

Пример 1. Найти решение уравнения y'=x .
Выполнить проверку решения.
Решение: Запишем уравнение в дифференциалах
dy/dx=x или dy=x*dx. Найдем интеграл правой и левой части уравнения

int(dy)=int(x*dx);
y=x2/2+C.

Это и есть интеграл ДР. Проверим его правильность, вычислим производную функции

y'=1/2*2x+0=x.

Как можно убедиться получили исходное ДР, следовательно вычисления верны.

Мы только что нашли решение дифференциального уравнения первого порядка. Это именно проще уравнения, которое можно себе представить.

Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(x+1)y'=y+3
Решение: Запишем исходное уравнение в дифференциалах
(x+1)dy=(y+3)dx.
Полученное уравнение сводим к ДР с разделенными переменными
Все что осталось это взять интеграл от обеих частей По табличными формулами находим

ln|y+3|=ln|x+1|+C.

Если экспонировать обе части, то получим

y+3=e ln|x+1|+C или y=e ln|x+1|+C-3.

Такая запись является правильной, но не является компактной. На практике применяют другой прием, при вычислении интеграла постоянную вносят под логарифм

ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).

По свойствам логарифма это позволяет свернуть два последних слагаемых

ln|y+3|=ln(С|x+1|).

Теперь при экспонировании решение дифференциального уравнения станет компактное и легко читаемое
y= С|x+1|+3
Запомните это правило, на практике оно применяется как эталон вычислений.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
y'=-y*sin(x).
Решение:Запишем уравнение в дифференциалах
dy/dx= y*sin(x)
или после перегруппировки множителей в виде уравнения с разделенными переменными
dy/ y=-sin(x)dx. Осталось проинтегрировать уравнение

int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).

Константу удобно внести под логарифм, да еще и с отрицательным значением, чтобы перенеся в левую часть получить

ln|С*y|=cos(x).
Экспонируем обе части зависимости

С*y=exp(cos(x)).
Это и есть общий интеграл дифференциального уравнения. Его можно оставить как есть, а можно постоянную перенести в правую сторону

Вычисления не сложные, интегралы тоже в большинстве случаев можно найти по табличным формулам интегрирования.

Пример 4. Решить задачу Коши
y'=y+x, y(1)=e3-2.
Решение:Здесь уже предварительные преобразования не пройдут. Однако уравнение линейное и довольно простое. В таких случаях нужно ввести новую переменную
z=y+x.
Помня, что y=y(x) найдем производную от z.
z'= y'+1, откуда выражаем старую производную

y'= z'-1.

Подставим это все в исходное уравнение

z'-1=z или z'=z+1.

Распишем дифференциальное уравнения через дифференциалы
dz=(z+1)dx. Отделяем переменные в уравнении Осталось вычислить простые интегралы, которые под силу каждому Экспонируем зависимость, чтобы избавиться от логарифма при функции

z+1=ex+Сабо z=ex+1-1

Не забываем вернуться к выполненной замене

z=x+y= ex+С-1,

отсюда выписываем общее решение дифференциального уравнения
y= ex+С-x-1. Найти решение задачи Коши в ДР в данном случае не сложно. Выписываем условие Коши

y(1)=e3-2

и подставляем в только что найденное решение

e1+С-1-1= e3-2.

Отсюда получим условие для вычисления постоянной

1+С=3; С=3-1=2.

Теперь можем записать решение задачи Коши (частичный решение ДР)
y= ex+2-x-1. Если Вы хорошо умеете интегрировать, с производной у Вас дела тоже на высоте, тогда тема дифференциальных уравнений для Вас не будет препятствием в образовании. В дальнейшем обучении Вам необходимо изучить несколько важных схем, чтобы научиться различать уравнения и знать, какая замена или методика работает в каждом случае.

После этого Вас ждут однородные и неоднородные ДР, дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Чтобы не нагружать Вас теорией в следующих уроках мы будем приводить только тип уравнений и краткую схему их вычислений.

Всю теорию Вы можете почитать из методических рекомендаций для изучения курса “Дифференциальные уравнения” (2014) авторы Бокало Николай Михайлович, Доманская Елена Викторовна, Чмырь Оксана Юрьевна. Можете использовать другие источники, содержащие понятны Вам объяснения теории дифференциальных уравнений.

Готовые примеры для диф. уравнений взяты из программы для математиков ЛНУ им. И. Франка.

Мы знаем, как решить дифференциальные уравнения и постараемся в легкий способ привить эти знания Вам.

Источник: http://yukhym.com/ru/reshenie-diff-uravnenij/differentsialnye-uravneniya-osnovnye-ponyatiya.html

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным; например,

Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

(1)

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

(2)

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям

а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;

б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

Рассмотрим примеры.

1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .

3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности.

Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица.

Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная (постоянная Липшица), что для любых из и любого из справедливо неравенство

Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .

Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,

Если то

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

(3)

зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;

2) каково бы ни было начальное условие

(4)

можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .

Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,

Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая и , получим частное решение .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .

Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.

При и получим частное решение .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=osnovnye-ponyatiya-i-opredeleniya-differentsialnyh-uravneniy

ovdmitjb

Add comment