Элементарные функции и их графики

«Элементарные функции, свойства, графики»

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Занятие1

«Элементарныефункции, свойства, графики»

Если имеются две переменныевеличины – x и y–и каждому рассматриваемому значениюодной из них –x–соответствует вполне определенное (единственное) значение другой –y-,то первая из этих переменных называетсяаргументом, или независимой переменной,а вторая – ее функцией. Записывают этообычно так:

y=f( x).

Знак f обозначает закон соответствия, покоторому для каждого значения переменнойвеличины xнаходится отвечающее ему значениепеременной y.Этот закон, определяющий или, прощеговорят, задающий функцию, может бытьвыражен по разному:

1. математической формулой (аналитический способ задания функции)

2. таблицей (табличный способ),

3. графиком (графический способ),

4. правилом, сформулированным словами

Графикомфункции у= f(x)называется геометрическое место точекплоскости, координатами которых являютсязначения аргумента xи соответствующие им значения функцииy=f(x).

Общепринятый путь в переходе отодного способа задания функции к другомупроходит по схеме:

формула, задающая функцию таблица некоторых значений аргументаи функции,  точки графика функции в выбраннойсистеме координат, 

соединение этих точек непрерывнойлинией: путьот формулы к графику.

Но важен и «обратный путь»: отграфика функции к формуле, ее задающей.

Функция	Формула	График
Линейная	y=kx+b
Квадратичная	= ax2+bx+c, a0
Обратная пропорциональность	=, k0
Тригонометрические	=sin x,
=cos x,
=tg x
=ctg x
Обратные тригонометрические	=arcsin x
=arcсos x
=arctg x
=arcctg x
Показательная
Логарифмическая	=logax, a>0, a1
Степенная

Общие свойства функций

Задавая функцию формулой,необходимо указывать и область еезадания, т. е. совокупность значенийаргумента, при которых данная функцияимеет смысл, существует.

Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу xDпоставлено в соответствие единственноечисло y, тоговорят, что на множестве Dзадана числовая функция:

y = f (x),

Множество Dназывается областьюопределения функциии обозначается D (f (x)).

D(f±g)=D(f)∩D(g)

D(f∙g)=D(f)∩D(g)

D()=D(f)∩D(g)\{x,g(x)=0}

D(f°g)={xD(g)|g(x)D(f)}

Множеством (областью) значенийЕ(y)функции у = f(x)называется множество всех таких чисел у0, длякаждого их которых найдется число х0,такое что

f(x0)= у0.

Значение аргумента, при которомфункция равна 0, называется нулём( корнем ) функции. Функцияможет иметь несколько нулей. Геометрически – нульфункции – этоабсцисса точки пересечения графикафункции с осью Х.

Функция f(x)называется нечетной,если для каждого х из области определенияDf функции f(x)выполняется равенство f(-x)= –f(x).

Из равенств f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)следует:

1. Область определения Df функции f(x) есть множество, симметричное относительно точки ноль, т. е. для всякого x и –x;

2. Значения функции f(x) в симметричных точках совпадают или противоположны.

Понятия четной или нечетнойфункции можно вводить, и исходя изгеометрических представлений о симметрии:

функция f(x),график которой симметричен относительнооси ординат, называется четной;

функция f(x),график которой симметричен относительноначала координат, называется нечетной.

Вприроде и технике достаточно частовстречаются процессы, которые периодическиповторяются с течением времени.Периодически изменяющиеся величиныописывают с помощью периодическихфункций.

Функция  f( x) -периодическая,если существуеттакое отличное от нуля число T , что длялюбого  x из области определенияфункции имеет место:   

f ( x + T ) =  f ( x ). Число Тназывается периодом функции. Наименьшийположительный период называется основным(главным) периодом. Из равенства f ( x + T) =  f( x ) следует, что для всякого хDf и (х+Т) Df, т.е. Df-периоди-ческое множество. Всетригонометрические функции являютсяпериодическими.

Функция f (x)называется возрастающейна промежутке D,если для любых чисел x1и x2из промежутка Dтаких, что x1 

Источник: https://gigabaza.ru/doc/86065.html

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

• постоянная функция (константа);
• корень n-ой степени;
• степенная функция;
• показательная функция;
• логарифмическая функция;
• тригонометрические функции;
• братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Свойства постоянных функций:

• область определения – все множество действительных чисел;
• постоянная функция – четная;
• область значений – множество, составленное из единственного числа C;
• постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
• постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

1. Корень n-й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

• область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
• когда x=0, функцияy=xn имеет значение, равное нулю;
• данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
• область значений: [0, +∞);
• данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
• отсутствуют точки перегиба;
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).

1. Корень n-й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

• область определения – множество всех действительных чисел;
• данная функция – нечетная;
• область значений – множество всех действительных чисел;
• функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
• точка перегиба имеет координаты (0; 0);
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y=xa.

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

• когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
• показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/osnovnye-elementarnye-funktsii/

Основные элементарные функции и их графики

1. Показательная

1. Логарифмическая функция

2. Степенная функция

1. Тригонометрические функции

1. Обратные тригонометрические функции

Опр.Функция, задаваемая одной формулой,составленной из основных элементарныхфункций и постоянных с помощью конечногочисла арифметических операций (сложения,вычитания, умножения, деления) и операциивзятия функции от функции, называетсяэлементарнойфункцией.

Примерыэлементарных функций:

.

Примерыне элементарных функций:

; .

Числовая последовательность

Опр.Под числовойпоследовательностью понимается функция ,заданная на множестве натуральных чиселN.

Обозначают: .

-первый член последовательности, – второй член последовательности, …, – общий или n–йчлен последовательности. Чаще всегопоследовательность задается формулой,которая позволяет вычислить любой членпоследовательности.

Например:1) и т.д.

Получаемчисловую последовательность 2, 5, 10, 17,…, ,…

2)

3) -1, 1, -1, 1 ,-1, ….

Опр.Последовательностьназывается ограниченной,если существует такое число М>0,что для любого .В противном случае – не ограниченной.

Пример: М=1 .

Опр.Последовательность называется возрастающей,если для любоговыполняется неравенство ;убывающей .

Например, 1, 1, 1, …..

Опр.Число аназываетсяпределом числовой последовательности ,если для любого существует такое натуральное число N,что при всех выполняется неравенство .Пишут .

Геометрически:число аназываетсяпределом последовательности ,если для любой -окрестноститочки анайдется натуральное число N,что все значения ,для которых ,попадут в -окрестностьточки а;чем меньше ,тем больше N,но в любом случае в -окрестноститочки анаходится бесконечное число членовпоследовательности, а вне её может бытьлишь конечное их число.

Пример.

Пустьпеременная величина xпоследовательно принимает значения

Докажем,что предел этой числовой последовательностиравен 1. Возьмем произвольное положительноечисло ε.Нам нужно найти такое натуральное числоN,что при всех выполняется неравенство .Действительно, т.к.

,то для выполнения соотношения достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве Nлюбое натуральное число, удовлетворяющеенеравенству ,получим что нужно.

Так если взять,например, ,то, положив N=6,для всех будем иметь .

Сходящаясяпоследовательность имеет только одинпредел. Последовательность, не имеющаяпредела, называется расходящейся.

Примеррасходящейся последовательности: ;

Теорема.Всякая монотонная ограниченнаяпоследовательность имеет предел.

Пример:1) .Последовательность возрастающая(монотонная) и ограниченная .Предел последовательности равен единице .

2) .

Предел функции

Опр.Пусть –любое действительное число. Окрестностьюточки называется любой интервал ,содержащий точку .В частности, интервал ,где ,называется -окрестностью точки .

Если то выполняется неравенство или, что то же, .Выполнение последнего неравенстваозначает попадание точки хв -окрестностьточки .

Опр.Пусть функция определена в некоторой окрестноститочки ,кроме, быть может, самой точки .ЧислоА называется пределом функции в точке (или при ),если для любого положительного числанайдется такое положительное число ,что для всех ,удовлетворяющих неравенству ,выполняется неравенство .Записывают .

Геометрическийсмысл предела: точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2,ограниченной прямыми .Величина зависитот выбора ,т.е. .

Опр.Если функция имеетпределом число ,при условии, что хстремитсяк ,оставаясь меньше, чем ,то принята запись ,число называют одностороннимпределом функции слева.

Опр.Если является пределом функции при условии, что хстремитсяк ,оставаясь больше, чем ,то называют одностороннимипределом функции справаи обозначают .

Длясуществования предела Афункции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовалив этой точке пределы функции слева исправа и чтобы они были равны междусобой .

Пример.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,4] следующим образом

Найдемпределы функции f(x)при x→3.Очевидно,

,а ,т.е. функция в точке х=3не имеет двустороннего предела.

Понятиепредела функции в бесконечно удаленнойточке.

Досих пор мы рассматривали пределы дляслучая, когда переменная величина xстремилась к определенному постоянномучислу.

Например,пусть переменная хпринимает значения x1=–1,x2=2,x3=–3,…, xn=(–1)nn,…Ясно, что это бесконечно большаяпеременная величина, так как при всехM> 0 все значения переменной, начиная снекоторого, по абсолютной величинебудут больше M.

Переменнаявеличина ,если при произвольном все последующие значения переменной,начиная с некоторого, удовлетворяютнеравенству .

Аналогично, ,если при любом .

Будемговорить, что функция стремится к пределу bпри ,если для произвольного малогоположительного числа εможно указать такое положительное числоM,что для всех значений x,удовлетворяющих неравенству ,выполняется неравенство .

Обозначают .

Пример.

Используяопределение, доказать, что .

Нужнодоказать, что при произвольном εбудет выполняться неравенство ,как только ,причем число Мдолжно определяться выбором ε.Записанное неравенство эквивалентноследующему ,которое будет выполняться, если .Это и значит, что (см. рис.).

Источник: https://StudFiles.net/preview/5125476/page:21/

Функции и графики

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости – первые две формулы, для трехмерной системы координат – все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует.

Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием.

 Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0).

Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c).

График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p – на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q – на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота – это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций – это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/funkcii