ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

Интуиционизм

Интуициони́зм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций «интуитивной убедительности». Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.

В интуиционистской математике отвергается подход классической теории множеств (в частности, не принимаются аксиома выбора и аксиома регулярности) и ряд рассуждений классической логики. , которая используется в интуиционистской математике, лучше соотносится с действительностью, чем абстракция актуальной бесконечности.

Интуиционистская логика[ | ]

В интуиционистской математике суждение считается истинным, только если его можно доказать некоторым «мысленным экспериментом».

То есть истинность утверждения «Существует объект x, для которого верно суждение A(x)» доказывается построением такого объекта, а истинность утверждения «A или B» доказывается либо доказательством истинности утверждения A, либо доказательством истинности утверждения B. Отсюда, в частности, следует, что утверждение «A или не A» может быть не истинным, а закон исключённого третьего неприемлем. Истинным математическим суждением является ряд выполненных построений эффективного характера с использованием интуиционистской логики. Эффективность не обязательно связана с наличием алгоритма и может зависеть от физических и исторических факторов, фактического решения проблем[1].

Основными объектами исследования интуиционистской математики являются : натуральные и рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов со списком элементов, свободно становящиеся последовательности (последовательности выбора, каждый член которых может быть эффективно доступен), интуиционистские виды (свойства, которыми могут обладать объекты исследования). Свободно становящиеся последовательности различают в зависимости от степени информации, известной исследователю. Если закон формирования последовательности известен полностью, то её называют заданной законом, если известен только начальный отрезок — беззаконной. Виды строятся в иерархию, когда элементы вида определяются независимо от самого вида, что позволяет избегать антиномий. Виды редко являются объектами исследования, большинство результатов интуиционистской математики можно получить без их использования[1].

Интуиционизм и другие математические подходы[ | ]

В трактовке теории множеств не делается различие между абстрактными объектами и объектами, существование которых можно подтвердить построением. В классической математике на бесконечные множества экстраполировали свойства и законы конечных совокупностей.

При этом не существует способа эффективного построения объектов, что находит своё отражение в так называемых «теоремах чистого существования». Отсутствие возможности построения не имеет связи с антиномиями теории множеств и относится ко всем разделам математики[1].

В широкой трактовке конструктивное направление математики можно рассматривать как часть интуиционистской математики[1].

Исторический очерк[ | ]

Критика теории множеств привела к возникновению двух течений: интуиционизма Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра и формализма Давида Гильберта. В 1904 году Брауэр подверг развёрнутой критике ряд концепций классической математики.

Его внимание привлёк статус существования: можно ли потенциально построить такие объекты исследования, как неизмеримое множество действительных чисел, нигде не дифференцируемая функция? Можно ли полагать, что в окружающем мире существуют бесконечные множества объектов[1]?

Интуиционистская математика в трактовке Брауэра — это убедительность мысленных построений, не связанная вопросом существования объектов. Другая трактовка — это «наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов реальной действительности». Брауэр возражал против формализации интуиционизма[1].

Аренд Гейтинг сформулировал интуиционистское исчисление предикатов и интуиционистское арифметическое исчисление, Альфредом Тарским была открыта топологическая интерпретация, а Андреем Николаевичем Колмогоровым — интерпретация в виде исчисления задач. Понимание в форме было предложено Стивеном Коулом Клини и поддержано научной школой Андрея Андреевича Маркова. К 70-м годам XX века было завершено построение теории свободно становящихся последовательностей[1].

См. также[ | ]

• Интуиционистское исчисление высказываний

Примечания[ | ]

1. ↑ 12345678Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.

Литература[ | ]

Источник: https://encyclopaedia.bid/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F/%D0%98%D0%BD%D1%82%D1%83%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D0%B7%D0%BC

Философский словарь – значение слова Интуиционистская Логика

– одна из наиболее важных ветвей логики неклассической, имеющая своей философской предпосылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. голландский математик и логик А. Гейтинг – ученик создателя интуиционизма Л.

Брауэра – дал аксиоматическую формулировку И. л., подчеркнув, что “интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции”. В И. л.

не действует закон исключенного третьего, а также ряд других законов логики классической, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов – закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду.

Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И. л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься также как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью.

В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И. л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание.

Если р и q – некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как р, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q.

Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено.

Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается. И. л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики.

Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике. Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались рус. математиками А. Н. Колмогоровым (1903-1985), В. И. Гливенко (1897-1910), А. А. Марковым (1903-1979), Н. А. Шаниным (р. 1919) и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Смотреть значение Интуиционистская Логика в других словарях

Логика — ж. греч. наука здравомыслия, наука правильно рассуждать; умословие. Логик м. умослов, правильный и здравый мыслитель, знающий науку правильного рассуждения. Логический,……..
Толковый словарь Даля

Логика — логики, ж. (греч. logike от logos – слово, разум). 1. Наука об общих законах развития объективного мира и познания (филос.). есть учение не о внешних формах мышления, а о законах……..
Толковый словарь Ушакова

Логика — Ход рассуждений, умозаключений; убеждение, точка зрения. Бабская (разг.), безукоризненная, беспощадная, беспристрастная, блестящая, внутренняя, гибкая, дикая (разг.),……..

Словарь эпитетов

Логика Ж. — 1. Научная дисциплина, изучающая способы доказательств и опровержений. 2. Внутренняя закономерность, присущая явлениям природы, общества. 3. Правильный, разумный ход……..
Толковый словарь Ефремовой

Логика — -и; ж. [от греч. logkē – наука о мышлении]1. Наука о законах и формах мышления. Формальная л. Диалектическая л.2. Ход рассуждений, умозаключений. Л. мышления. Понять л. суждений……..

Толковый словарь Кузнецова

Логика — Восходит к латинскому logos, означающему “слово, разум” и в свою очередь восходящему к греческому logike.
Этимологический словарь Крылова

Математическая Логика — (символическая логика), аналитический раздел логики, результат применения математических методов к проблемам классической логики. Рассматривает понятия, которые могут……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Размытая Логика — , система логики, способная объяснять утверждения, являющиеся истинными или ложными в зависимости от контекста. Например, утверждение «тепло» по отношению к неработающему……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Индуктивная Логика — логика индукции, совокупность теорий, в которыхизучаются выводы из посылок, необходимых, но недостаточных для логическойдедукции, а также математические критерии……..
Большой энциклопедический словарь

Интуиционистская Логика — логика, удовлетворяющая интуиционистскимтребованиям к математическим рассуждениям.
Большой энциклопедический словарь

Логика — (греч. logike) – наука о способах доказательств и опровержений;совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваютсяопределенные способы доказательств и опровержений………
Большой энциклопедический словарь

Логика Высказываний — раздел логики, в котором вопрос об истинности илиложности высказываний рассматривается и решается на основе изученияспособа построения высказываний из т. н. элементарных……..
Большой энциклопедический словарь

Логика Классов — логика объемов понятий, раздел логических теорий, вкотором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этихопераций (законы логики классов).
Большой энциклопедический словарь

Логика Науки — наука, применяющая понятия и технический аппаратсовременной логики к анализу систем научного знания. Сформировалась в 1-йчетв. 20 в. Разрабатывалась представителями……..
Большой энциклопедический словарь

Логика Предикатов — раздел логических теорий, в котором изучаютсяобщезначимые связи между высказываниями о свойствах и отношенияхпредметов; в основе логики предикатов лежит формализованный……..
Большой энциклопедический словарь

Математическая Логика — дедуктивная логика, включающая математическиеметоды исследования способов рассуждений (выводов); математическая теориядедуктивных способов рассуждений. Математической……..
Большой энциклопедический словарь

Многозначная Логика — общее наименование логических систем, в которых,помимо двух значений истинности (“истина” и “ложь”), рассматриваются и др.значения (напр., “бессмысленно”, “неопределенно”……..
Большой энциклопедический словарь

Модальная Логика — логическая теория модальностей (модальных операторов),применяемых к высказываниям или предикатам; играет важную роль влогической семантике.
Большой энциклопедический словарь

Положительная Логика — совокупность логических теорий, в которых изучаютсяспособы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операцииотрицания.
Большой энциклопедический словарь

Пор-рояля Логика — логическое учение, основано на принципах философииДекарта и Паскаля; систематически изложена в книге близких к монастырюПор-Руаяль А. Арно и П. Николя “Логика, или Искусство……..
Большой энциклопедический словарь

Символическая Логика — то же, что математическая логика.
Большой энциклопедический словарь

Формальная Логика — см. Логика.
Большой энциклопедический словарь

Логика — — наука о способах доказательств и опровержений. Умение аргументированно и доходчиво убеждать собеседника.
Исторический словарь

Логика Событий — – причинно-следственные связи между событиями, детерминирующие дальнейший ход самих событий.
Исторический словарь

Двузначная Логика — – то же, что алгебра ло гики.
Математическая энциклопедия

Интуиционистская Логика — – совокупность приемлемых с точки зрения интуиционизма методов доказательства утверждений. В более узком смысле под И. л. понимается интуиционистское исчисление предикатов,……..
Математическая энциклопедия

Комбинаторная Логика — – раздел логики, посвященный изучению и анализу таких понятий и методов, как переменная, функция, операция подстановки, классификация предметов по типам или категориям……..
Математическая энциклопедия

Конструктивная Логика — – раздел математической логики, изучающий рассуждения о конструктивных объектах и конструкциях. При таком понимании К. л. шире, чем логика конструктивной математики………
Математическая энциклопедия

Математическая Логика — теоретическая логика, символическая логика,- раздел математики, посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики. Исторический очерк………
Математическая энциклопедия

Многозначная Логика — – раздел математической логики, изучающий математич. модели логики высказываний. Эти модели отражают две основные черты последней – множественность значений истинности……..
Математическая энциклопедия

Посмотреть в Wikipedia статью для Интуиционистская Логика

Источник: http://slovariki.org/filosofskij-slovar/4977

Что такое Интуиционистская Логика

Интуиционистская Логика — логика, удовлетворяющая интуиционистскимтребованиям к математическим рассуждениям.

Значение слова Интуиционистская Логика по Логическому словарю:

Интуиционистская Логика —  — одна из наиболее важных ветвей логики неклассической, имеющая своей философской пред­посылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план ма­тематическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. гол­ландский математик и логик А.

Гейтинг — ученик создателя инту­иционизма Л. Брауэра — дал аксиоматическую формулировку И. л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от фор­мализации, которая может идти только по следам математи­ческой конструкции». В И. л.

не действует закон исключенного тре­тьего, а также ряд других законов логики классической, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реали­зовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двой­ного отрицания и закон приведения к абсурду. Отбрасывание закона исключенного третьего не означает при­нятия отрицания этого закона. напротив, И.

л. утверждает, что от­рицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) явля­ется верным. Отбрасывание не должно пониматься также как введение какого-то третьего истинностного значения, промежу­точного между истиной и ложью. В классической логике центральную роль играет понятие исти­ны.

На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И. л. смысл связок задается пу­тем указания тех необходимых и достаточных условий, при кото­рых может утверждаться сложное высказывание. Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как р, так и q.

Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Мате­матическое высказывание р можно утверждать только после прове­дения некоторого математического построения с определенными свойствами.

соответственно отрицание р можно утверждать, если   и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие про­тиворечия здесь принимается в качестве неопределяемого, прак­тически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2.

является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере суще­ствования объектов, исследуемых в математике.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исклю­ченного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, раз­рабатывались рус. математиками А. Н. Колмогоровым (1903-1985), В. И. Гливенко (1897-1910), А. А. Марковым (1903-1979), Н. А. Шани­ным (р. 1919) и др. В результате критического переосмысления ос­новных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Определение «Интуиционистская Логика» по БСЭ:

Интуиционистская логика — форма логики предикатов, отражающая взгляд Интуиционизма на характер логических законов, считающихся, с его точки зрения, допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности.

В соответствии с концепцией интуиционизма, в И. л. нет исключенного третьего принципа и закона снятия двойного отрицания. В качестве И. л. обычно рассматривается формальная логическая система, построенная нидерландским математиком А. Гейтингом в 1930 (охватывает логику предикатов.

ещё ранее — на основании соображений, отличных от интуиционистских, — систему И. л. в применении к логике высказываний, составляющей часть логики предикатов, построил советский учёный В. И. Гливенко).

Интуиционистская логика Гейтинга отличается тем, что выразимые в ней содержательные рассуждения являются приемлемыми с точки зрения интуиционизма нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра.
С развитием конструктивных направлений в математике и логике И. л. нашла в них применение и поэтому стала часто называться конструктивной логикой (хотя в И. л.

и нет некоторых принципов, признаваемых многими представителями этих направлений, например принципа конструктивного подбора, выдвинутого конструктивным направлением, возглавляемым советским математиком А. А. Марковым).

Источник: https://xn----7sbbh7akdldfh0ai3n.xn--p1ai/intuicionistskaya-logika.html