История систем счисления

История чисел и система счисления, позиционные системы (кратко)

История чисел и система счисления тесно взаимосвязаны, потому что система счисления и представляет собой способ записи такого абстрактного понятия, как число. Данная тема не относится сугубо к области математики, ведь всё это является важной частью культуры народа в целом.

Потому, когда разбирается история чисел и систем счисления, кратко затрагиваются и многие другие аспекты истории создавших их цивилизаций. Системы в целом делятся на позиционные, непозиционные и смешанные. Из их чередования состоят вся история чисел и систем счисления. Позиционные системы – это такие, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

В непозиционных системах, соответственно, такой зависимости нет. Человечеством созданы и смешанные системы.

Изучение систем счисления в школе

Сегодня урок «История чисел и систем счисления» проводится в 9 классе в рамках курса по информатике. Главное практическое его значение – научить переводить числа из одной системы счисления в другую (прежде всего из десятиричной в двоичную).

Однако история чисел и систем счисления является органической частью истории в целом и вполне могла бы дополнить также и этот предмет школьной программы. Также это могло бы улучшить пропагандируемый сегодня междисциплинарный подход.

В рамках общего курса истории в принципе могла бы изучаться не только история экономического развития, социально-политических движений, правлений и войн, но и в небольшой степени история чисел и систем счисления.

Сложно сказать, когда, а главное, как человек научился считать (так же, как невозможно доподлинно выяснить, когда, а главное, как возник язык). Известно только, что все древние цивилизации уже имели свои системы счёта, значит, история чисел и система счисления зародились в доцивилизационное время.

Камни и кости не способны рассказать нам, что происходило в человеческом сознании, а письменных источников тогда ещё не создавали. Возможно, счёт понадобился человеку при разделе добычи или много позже, уже в ходе неолитической революции, то есть при переходе к земледелию, для раздела участков поля. Любые теории на этот счёт будут в равной степени беспочвенными.

Но некоторые предположения всё же можно сделать, изучая историю различных языков.

Следы древнейшей системы счисления

Самая логичная начальная система счёта – противопоставление понятий «один» – «много». Логична она для нас потому, что в современном русском языке существует только единственное и множественное число.

Но во многих древних языках было также и двойственное число для обозначения двух предметов. Существовало оно и в первых индоевропейских языках, включая древнерусский. Таким образом, история чисел и система счисления начались с разделения понятий «один», «два», «много».

Однако уже в самых древних известных нам цивилизациях были разработаны более детальные системы счисления.

Месопотамская запись чисел

Мы привыкли, что система счисления десятирична. Это и понятно: на руках 10 пальцев. Но тем не менее история возникновения чисел и систем счисления прошла через более сложные фазы. Месопотамская система счисления – шестидесятиричная. Потому до сих пор в часе 60 минут, а в минуте – 60 секунд.

Потому год делится на число месяцев, кратное 60, а день делится на такое же число часов. Изначально это были солнечные часы, то есть каждый из них составлял 1/12 светового дня (на территории современного Ирака его длительность не сильно варьировалась).

Только много позже длительность часа стали определять не по солнцу и добавили также 12 ночных часов.

Интересно то, что записывались знаки этой шестидесятиричной системы, будто она десятиричная – существовало только два знака (для обозначения единицы и десятка, не шести и не шестидесяти, а именно десятка), цифры получали, комбинируя эти знаки. Страшно себе даже вообразить, как сложно было записать сколько-нибудь большое число таким способом.

Древнеегипетская система счисления

И история чисел в десятиричной системе счисления, и использование многочисленных значков для обозначения чисел началось с древних египтян. Они комбинировали иероглифы, которые обозначали один, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч, миллион и десять миллионов, обозначая таким образом нужное число.

Такая система была гораздо удобнее, чем месопотамская, использовавшая только два знака. Но при этом она имела явное ограничение: сложно было записать число, значительно большее, чем десять миллионов.

Правда, древнеегипетская цивилизация, как и большинство цивилизаций Древнего мира, с такими числами не сталкивалась.

Эллинские буквы в математических записях

История европейской философии, науки, политической мысли и многого другого во многом начинается в Древней Элладе («Эллада» – это самоназвание, оно предпочтительнее, чем придуманное римлянами «Греция»). Развиты в этой цивилизации были и математические знания.

Числа эллины записывали буквами. Отдельные буквы обозначали каждое число от 1 до 9, каждый десяток от 10 до 90 и каждую сотню от 100 до 900. Только тысячу обозначали той же буквой, что и единицу, но с другим знаком рядом с буквой.

Система позволяла даже большие цифры обозначать относительно короткими надписями.

Славянская система счисления как наследница эллинской

История чисел и систем счисления была бы не полной без нескольких слов о наших предках. Кириллица, как известно, основана на эллинском алфавите, потому и славянская система записи цифр также была основана на эллинской. Здесь тоже отдельными буквами обозначалось каждое число от 1 до 9, каждый десяток от 10 до 90 и каждая сотня от 100 до 900.

Только использовались не эллинские буквы, а кириллица, или глаголица.

Существовала также и интересная особенность: несмотря на то что и эллинские тексты в то время, и славянские с самого начала их истории записывались слева направо, славянские цифры писались как бы справа налево, то есть буквы, обозначавшие десятки ставили правее букв, обозначавших единицы, буквы, обозначавшие сотни правее букв, обозначавших десятки и т. д.

Аттическое упрощение

Эллинские учёные достигли огромных высот. Римское завоевание не прервало их изысканий. Например, судя по косвенным свидетельствам, Аристарх Самосский за 18 веков до Коперника разработал Гелиоцентрическую систему мира. Во всех этих сложных расчётах эллинским учёным помогала их система записи чисел.

Но для простых людей, например, торговцев, система зачастую оказывалась слишком сложной: чтобы её использовать, требовалось запомнить числовые значения 27 букв (вместо числовых значений 10 символов, которые учат современные школьники).

Потому появилась упрощённая система, получившая название аттической (Аттика – область Эллады, одно время лидировавшая в регионе в целом и особенно в морской торговле региона, так как столицей Аттики были знаменитые Афины). В этой системе отдельными буквами стали обозначаться только числа один, пять, десять, сто, тысяча и десять тысяч.

Получается всего шесть знаков – их гораздо легче запоминать, а слишком сложных вычислений торговцы всё равно не производили.

Римские цифры

И система счисления, и история чисел древних римлян, и в принципе история их науки является продолжением эллинской истории.

За основу была взята аттическая система, просто эллинские буквы заменили латинскими и добавили отдельное обозначение пятидесяти и пятисот.

При этом сложные расчёты в своих трактатах учёные продолжали производить эллинской системой записи в 27 букв (да и сами трактаты они обычно писали по-эллински).

Но исторически сложилось так, что она до сих пор сохраняется наравне с арабскими (так называемыми) цифрами. И забывать эту альтернативную систему, переставать её использовать не стоит.

В частности, сегодня часто арабскими цифрами обозначаются количественные числительные, а римскими – порядковые.

Великое древнеиндийское изобретение

Цифры, которые сегодня используем мы, появились изначально в Индии. Точно не известно, когда история чисел и система счисления сделали этот знаменательный поворот, но, скорее всего, не позднее V века от Рождества Христова.

Часто подчёркивается, что именно индийцы разработали понятие нуля.

Такое понятие было известно математикам и других цивилизаций, но действительно лишь система индийцев позволила полноценно включить его в математические записи, а значит, и в вычисления.

Предположительно в IX веке индийские цифры заимствовали арабы. В то время как европейцы пренебрежительно относились к античному наследию, а в некоторые регионах одно время даже намеренно уничтожали его как языческое, арабы бережно хранили достижения древних греков и римлян.

С самого начала их завоеваний ходовым товаром стали переводы античных авторов на арабский. В основном через трактаты арабских учёных средневековые европейцы снова обрели наследие древних мыслителей. Вместе с этими трактатами пришли и индийские цифры, которые в Европе стали называть арабскими.

Они не сразу были приняты, потому что для большинства людей оказались менее понятными, чем римские. Но постепенно удобство математических расчётов с помощью этих знаков победило невежественность.

Лидерство европейских промышленно развитых стран привело к тому, что так называемые арабские цифры распространились по всему миру и сегодня применяются практически повсеместно.

Двоичная система счисления современных компьютеров

С появлением компьютеров постепенно совершили значительный поворот многие области знаний. Не стала исключением история чисел и систем счисления.

Фото первого компьютера мало напоминает современное устройство, на мониторе которого вы читаете эту статью, но работа их обоих основана на двоичной системе счисления, коде, состоящем, только из нулей и единиц.

Для обыденного сознания всё же остаётся удивительным, что с помощью комбинации из всего двух символов (фактически сигнала или его отсутствия) можно производить самые сложные вычисления и автоматически (при наличии соответствующей программы) переводить числа в десятиричной системе исчисления в числа в двоичной, шестнадцатиричной, шестидесятишестиричной и любой другой системе. И с помощью такого двоичного кода на мониторе изображается данная статья, где отражена история чисел и система счисления у разных цивилизаций в истории.

Источник: https://FB.ru/article/228271/istoriya-chisel-i-sistema-schisleniya-pozitsionnyie-sistemyi-kratko

Занятие 1

    Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с цифрами и числами: мы запоминаем номера машин и телефонные номера, подсчитываем стоимость покупки в магазине, рассчитываем свой семейный бюджет…     Уже тысячи лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия, но принципы записи чисел могли быть самыми разными. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. Такие символы впоследствии стали называться цифрами.

   Цифры – символы, предназначенные для записи чисел.    Способы записи чисел с помощью цифр и соответствующие этим способам правила выполнения действий над числами называются системами счисления.

Единичная (палочная) система счисления

    Каждый предмет в такой системе счисления обозначался черточкой. Количество черточек соответствовало количеству предметов. Пользоваться такой системой счисления было неудобно как при записи, так и при подсчете. Дальнейшее развитие систем счисления шло по двум путям. Можно было придумывать отдельное название (и обозначение) для каждого числа.

Но если чисел оказывалось слишком много, то их названия и обозначения забывались. Поэтому при таком пути развития количество чисел приходилось ограничивать. На островах пролива Торреса до сих пор существует племя туземцев, где всего два числительных – «урапун» и «окоза».

Но и чисел у них всего лишь семь: урапун, окоза, окоза-урапун, окоза-окоза, окоза-окоза-урапун, окоза-окоза-окоза, а последним является число, которое в переводе на русский означает слово «много». Число 7 является священным числом, а чисел, больших семи, это племя не использует.

)

    Второй путь основан на предположении, что для облегчения счета люди стали группировать по несколько предметов и использовать обозначения для таких групп предметов. А поскольку при подсчете естественным образом использовались пальцы рук, то в таких группах оказывалось по 5 или 10 предметов. По такому пути развивалась

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

    Возникновение этой системы относят ко второй половине третьего тысячелетия до н.э. В ней использовались специальные знаки для обозначения степеней десяти: 1 – , 10 – , 102 – , 103 – и т.д.. Число 345 записывалось так: .

Каждая цифра в записи числа не должна была повторяться более 9 раз.
   В основе палочной и древнеегипетской систем счисления лежал принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в записи числа.

В такой записи числа значение цифры не зависит от места, которое она занимает в записи числа.

Вавилонская шестидесятеричная система

    Началом ее появления считают второе тысячелетие до н.э. Числа в этой системе составлялись из знаков двух видов: служил для записи единиц, а использовался для записи десятков. Число 35 выглядит так: . Число 60 обозначалось так же, как 1 – .

Это же обозначение служило и для остальных степеней числа 60 – 3600 – 602; 216000 – 603. Для определения значения числа его запись нужно было разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых цифр соответствовало чередованию разрядов: =132.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учетом того, что цифры в каждом последующем разряде «весили» в 60 раз больше таких же цифр предыдущего разряда.

    Получается, что в числах от 1 до 59 значение цифры не зависело от ее номера, а для чисел, больших или равных 60, значение цифры зависело от ее позиции в записи числа.

Здесь могла возникнуть путаница: знак можно было трактовать как любую степень числа 60; число могло быть равно 92 (60+30+2) или 3632 (3600+30+2); число могло быть равно как 444 (7*60+24), так и 7*3600+24. Это происходило по причине отсутствия 0.

Впоследствии вавилоняне ввели знак для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Число 3632 теперь записывалось так . Но в конце числа этот символ обычно не ставился, так что он не являлся нулем в нашем понимании.
    Такая система счисления – первая, основанная на позиционном принципе. Отмечают большую роль этой системы счисления в математике и астрономии. Так, мы до сих пор делим час на 60 мин, а минуту – на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, делим окружность на 360 частей (градусов).

Римская система счисления

    Для обозначения цифр в римской системе счисления использовались заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D, M, которые соответственно обозначали цифры 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

• Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (группа первого вида); III=3.

• Разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая (группа второго вида). IV=4. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: перед L(50) и C(100) может стоять только Х(10); перед D(500) и M(1000) – только С(100); перед V(5) – только I(1).

• Сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого и второго видов. CLVI=156.

    Рядом не должно стоять более трех одинаковых цифр.     Число 32 = XXXII (две группы первого вида); 444=CDXLIV(три группы второго вида); 1974=MCMLXXIV(наряду с группами обоих видов участвуют отдельные цифры).

    В такой записи числа значение цифры не зависит от ее места в записи числа.

Алфавитные системы счисления

    Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская, греческая. В таких системах числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси.

Числа записывали так же, как и слова, только ставили над ними знак – титло, позволяющий отличить числа от слов.     Числа от 11 до 19 записывали так же, как произносили, т.е. число единиц ставили перед числом десятков: один – на десять – ; девять – на десять –
    В такой алфавитной системе счисления использовалось около 27 цифр.

Запись чисел в пределах 1000 была не длиннее теперешней. Для записи чисел больших 1000 использовались те же цифры, что и для записи 1, 2, 3 и т.д., только перед цифрой ставили специальный знак – . Число 10 000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком: . Называли это число «тьма». Отсюда пошло выражение «тьма народу».

Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».     В алфавитной системе счисления проглядывают зачатки позиционной системы, т.к. для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же буквы, только с добавлением специальных обозначений.

    Такие системы счисления были неудобны для операций с большими числами.

В ходе развития человеческого общества эти системы уступили свое место позиционным.

Индийская мультипликативная система

    Позиционные системы счисления возникли независимо друг от друга в древнем Вавилоне, у индейцев племени майя и, наконец, в Индии. В таких системах счисления сначала возникли специальные обозначения, добавляемые к десяткам и сотням. Если обозначим через Х десятки, а через Y – сотни, то число 323=3Y 2X 3.

   Современная десятичная система счисления возникла примерно в V веке нашей эры в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после появления нуля. Теперешнее обозначение 0 впервые появилось в Греции после знакомства греческих ученых с астрономическими наблюдениями вавилонян.

Для обознчения нулевого разряда греки стали использовать букву О – первую букву слова «OUDEN» – НИЧТО.    Индийцы соединили свою мультипликативную систему с греческим нулем и алфавитными принципами записи чисел в Греции.

   Но эта система и цифры, используемые в ней, называются арабскими, т.к.

в Европу такие цифры «привезли» арабские купцы вместе со своими товарами. В Европе такая система счисления получила распространение с начала XII века.

    Таким образом, все системы счисления можно разбить на такие, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа и такие, в которых значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Первые из них мы будем называть ПОЗИЦИОННЫМИ, а вторые – НЕПОЗИЦИОННЫМИ.    ОСНОВАНИЕМ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ будем называть количество цифр в ее алфавите.

   Неудобство непозиционных систем счисления (римская система) состоит в том, что для каждого нового разряда надо придумывать свою «цифру». По тем правилам, что мы с вами рассмотрели ранее, нельзя записать число, большее 3999=MMMCMXCIX. С нашей точки зрения, в таких системах неудобно производить вычисления, хотя, конечно, существуют правила, по которым эти действия производятся.

   В позиционных системах счисления правила сложения были основаны на переходе в следующий разряд, если сумма цифр в соответствующих разрядах превысит соответствующую степень основания. Это правило, так же, как и правила вычитания, умножения и деления «столбиком», были разработаны еще в IX веке выдающимся математиком Мухаммедом ибн Мусой аль Хорезми.

Такие правила по его имени получили название algorithmi (алгоритмы).

Источник: http://slbazhenova.narod.ru/ss/texts/ls1.html