Математизация науки

Математизация науки. Роль математических методов в химии. Химическое и математическое моделирование

государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования 

«Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Химический факультет

Реферат

по дисциплине: «Философия»

на тему: «Математизация науки. Роль математических методов в химии. Химическое и математическое моделирование»

                                                                Выполнила:

                                                            студентка группы 21МХ

кафедры органической химии

                                                               Борисова С.В. 

Проверила:

Гаврилова В. Г.                                                          

Нижний Новгород

2012

Оглавление

Введение 3

1.История математизации науки 4

2. Основные методы математизации в науке. 7

3. Роль классической и прикладной математики в химии и химической технологии 9

Заключение 11

Литература 12

Приложение 13

Словарь терминов 13

Тест 14

Математизация науки. Роль математических методов в химии. Химическое и математическое моделирование.

Введение

Актуальность взаимодействия математики и ее методов в разработке теорий фундаментальных и прикладных наук, в частности в решении различных проблем химии, связана с многовековым развитием и проникновением математических методов в различные области человеческой деятельности, которое со временем только расширяется и углубляется. В настоящее время мы видим бурный рост числа математических приложений, связанный, прежде всего с развитием компьютерных технологий, появлением глобальной сети Internet. Те математические идеи, которые раньше не покидали области академической науки, сейчас являются привычными в обиходе программистов, физиков, химиков. 

1.История математизации науки

Математика является одной из древнейших наук. Само слово “математика” имеет древнегреческие корни и означает “наука” или “знание”.

Сейчас предмет изучения математики настолько огромен и разнообразен, что довольно трудно дать определение математики, как науки, занимающейся тем-то и тем-то.

Хотя и узкое, но довольно простое определение все же дается: “Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”.

С появлением первых государств (Древнего Египта, Вавилона, Китая) возникает потребности в развитии и углублении математических знаний. Развитие земледелия, архитектуры дает толчок к возникновению геометрии. Математические знания еще являлись только эмпирическими фактами, о необходимости их доказательства речи не возникало.

Многие формулы представлялись в виде неких рецептов, следуя которым можно получить результат. Доказательством выступала практика и опыт: если какой-либо факт подтверждался практически, хотя бы приближено, но достаточно точно для практических нужд, он считался верным. Поэтому некоторые факты, открытые египтянами, оказались правильными лишь приближенно.

Например, они считали, что отношение длины окружности к диаметру равно 3,16.

Древнегреческие философы и математики очень много сделали для её развития. Это и практика строгих доказательств, введенная Фалесом, и замечательные теоремы Пифагора, и методы Архимеда вычисления объемов различных тел, и аксиоматическая система геометрии Евклида, и система буквенных обозначений Диофанта.

Пифагор пытался применить математику для нужд своей философской системы, согласно которой в основе мироздания – числа. Познать мир – это значит познать управляющие им количественные соотношения.

Ему приписывается модель солнечной системы, в которой планеты движутся по сферическим орбитам, подчиняющимся некоторым количественным отношениям – так называемая гармония сфер. Также Пифагором и его школой были выявлены интересные числовые закономерности в музыке (высота тона колебания струны зависит от ее длины).

Его учение дает первый пример целенаправленного применения математики в объяснении явлений природы, общества и мироздания в целом.

Последующий период, вплоть до 16 в. характеризуется довольно медленным процессом проникновения математики в другие науки.

Бурное развитие как самой математики, так и ее приложений наблюдается в Новое время. Переход к новым капиталистическим отношениям, ослабление влияния церкви на философию и науку развязывают исследователям руки, делают их мысли смелее.

Одним из первых, кто почувствовал веяние нового времени и начал по-новому подходить к науке, был Г.Галилей. Для описания результатов, Галилей впервые применил математический аппарат: начала дифференциального исчисления.

И.Кеплер примерно в то же время, анализируя скурпулезные наблюдения Т.Браге за движением Марса, приходит к выводу, что планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца.

Это характерный пример того, как математическая теория, не получившая популярности при жизни автора и почти забытая, находит применение в важных вопросах науки спустя много лет.

Р.Декарт известен в математике благодаря методу координат – связующему между алгеброй и геометрией. Эта плодотворная идея по сути стала основным толчком для последующего развития математики. Он использует методы математики и логики в физике, физиологии, этике, философии. Математика взята за эталон ввиду того, что он считал ее образцом стройности и истинности.

Строго доказав то или иное утверждение, математик полностью убеждает остальных в его истинности и освобождает тем самым свою науку от споров и сомнений. Философия же, например, или мораль имеют много таких вопросов, которые на протяжении всей истории вызывали бурные споры и к окончательному мнению относительно них философы так и не пришли.

А почему бы не попробывать их решить, используя математические методы, которые в своей области успешно срабатывают? Ведь в справедливости доказанных геометрических теорем никто не сомневается, а правильное решение какой-либо задачи не вызывает споров.

Свои размышления Декарт изложил в работе “Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках”.

Примерно в то же время два других французских математика, Б. Паскаль и П. Ферма, закладывают основы теории вероятности – важной области для математических приложений.

Настоящей революцией в математике и ее приложениях стало открытие дифференциального и интегрального исчисления И.Ньютоном и Г.Лейбницем. Это стало началом широкого проникновения математических методов в физику, механику и астрономию.

Почему же этот метод стал таким плодотворным именно для физических приложений? Дело в том, что характерной особенностью почти всех физических процессов является наличие непрерывного движения, изменения во времени некоторых числовых параметров, а пределы (а с ними и интегралы и производные) как раз и есть важнейший инструмент для исследования непрерывных функций.

Другой заслугой Ньютона, по сути сделавшей физику самостоятельной наукой, стала идея аксиоматизации механики. Здесь Ньютон выдвигает несколько фундаментальных законов механического движения, известных сейчас как три закона Ньютона. Опираясь на  “аксиомы”, он, используя математические методы и дедукцию, описывает качественно и количественно многочисленные физические явления.

XVIII век характеризуется окончательной математизацией физики. Крупнейшие математики того времени: Л.Эйлер, Ж.-Л.Лагранж, П.С. Лаплас развивают анализ бесконечно-малых, делая его основным орудием исследования в естествознании. Полный успех был достигнут с его помощью в небесной механике – описаны движения планет, Луны в рамках закона тяготения Ньютона.

 Лаплас в своем капитальном сочинении “Трактат о небесной механике” провозгласил тезис, известный как принцип детерминизма: “Зная положения всех частиц во вселенной и их скорости в данный момент, мы можем определить состояние вселенной в любой момент в будущем”.

Математическое обоснование ему дается уже в следующем столетии в теореме Коши-Ковалевской о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

XIX век ознаменовался революциями в точных науках.

Новые идеи, родившиеся в абстрактных недрах математики, такие как понятие группы, неевклидовая геометрия нашли и до сих пор находят применение в физике, кристаллографии, химии.

 Новые явления в физике – электричество и магнетизм оказываются хорошо описываемыми “старыми” методами дифференциального и интегрального исчисления с некоторыми дополнениями из векторного анализа. 

Теория вероятностей возможно даже обогнала математический анализ по числу приложений: методы математической статистики используют в огромном числе наук, начиная с физики и заканчивая психологией и лингвистикой.

Развитие математической логики, вызванное программой Гильберта обоснования математики, привело к появлению компьютеров, которые изменили мировоззрение современного человека. Практика ставит новые задачи, которые уже не решаются испытанными в физике методами анализа непрерывных функций.

Эти дискретные задачи из экономики, генетики, и др. характеризуются трудоемким перебором огромного числа вариантов, который не под силу даже компьютерам.

2. Основные методы математизации в науке

Важнейший метод математизации – это математическое моделирование. Он состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике.

Основная идея моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации. Конечно в итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления.

Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление.

С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметно расширились.

Удивительным образом оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать много разнообразных явлений в различных областях. Например, одно дифференциальное уравнение может описывать и рост численности популяции, и химический распад, и цепную ядерную реакцию, и распространение информации в социальной группе.

Возникает вопрос: В чем причина такой всеприменимости математических моделей? Ответа на этот вопрос математика не дает. Но можно дать и следующее некоторое “обоснование” этому факту. Когда исследователь изучает какое-то явление и строит скажем количественную модель, он стремится к простоте модели и выделяет только небольшое число параметров и отношений между ними.

В итоге, по огромному количеству явлений получаем модели, связанные скажем с определенными дифференциальными уравнениями. Но в теории дифференциальных уравнений эти уравнения классифицированы в достаточно небольшое число типов, которые различаются по свойствам и методам их решения.

В итоге и получается, что дифференциальные уравнения (а значит и модели) для большого числа явлений попадают в один класс, в котором они практически неразличимы.

Эта модель называется машиной Тьюринга и придумана в 1936 году английским математиком Аланом Тьюрингом в связи с проблемой формализации понятия алгоритма. Она оказалась очень полезной для разработки первых ЭВМ, и с тех пор является общепринятой математической моделью современных компьютеров.

Удивительно то, что эта модель, прекрасно описывающая работу современных компьютеров, родилась раньше, чем появились первые ЭВМ.

Источник: http://referat911.ru/Filosofiya/matematizaciya-nauki-rol-matematicheskih-metodov/36579-1301952-place1.html

Математизация наук

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.

И. Кант

Не вызывает сомнений тот факт, что явление математизации современной науки — это явление сложное, многоаспектное и может быть рассмотрено и изучено с разных точек зрения. Очевидны, например, социальные и социально-психологические последствия математизации.

Она приводит к перестройке организационной структуры науки, меняет систему образования, разрушает иногда вековую обособленность отдельных дисциплин, создает конфликты и противоречия между представителями разных традиций и разных поколений…

Математизация породила в науке, если не особую профессию, то особую роль, особую фигуру, фигуру математизатора. Это человек, работающий на стыках наук, математик, ставший биологом, геологом или гуманитарием и в то же время сохранивший установки и принципы математического мышления.

Он призван как бы сидеть на двух стульях, согласуя то, что, вообще говоря, трудно согласуется; нередко это роль конфликтная, требующая большой разносторонности и этической или аксиологической культуры

Часто возникающий вопрос — нужно ли математизировать гуманитарные науки? Однозначный ответ вряд ли возможен, ибо существует различное понимание задач и предмета гуманитарного познания. Но очевидно, что вопрос содержит и существенную аксиологическую составляющую.

Как мы оцениваем воспитательную роль гуманитарного знания? Признаем ли мы, например, огромную роль биографий конкретных ученых в деле формирования и трансляции образцов определенных жизненных устремлений, мотивов научного творчества, образцов отношения к науке? Нам представляется, что развитие науки невозможно без сохранения и трансляции таких образцов. Нам представляется, что обсуждение аксиологических аспектов математизации должно быть тесно связано с преодолением часто встречающегося физико-математического снобизма, который приводит к недооценке и непониманию особенностей, традиций и функций других представителей многообразного мира науки.

Но рассмотрим более детально, в чем может состоять принципиальная перестройка сложившихся ситуаций и как вообще возникает такая задача? Проблема математизации – это прекрасный материал для ответа на этот вопрос.

Было бы наивно думать, что специалисту какой-либо конкретной науки вдруг сама собой придет в голову идея все кардинально переделать в его области. Для этого необходимы какие-то новые социальные запросы, новые требования, навязанные извне, необходимо столкновение с какими-то иными традициями работы.

В случае математизации такую роль выполняют науки-лидеры, которые в силу своего всеобщего социального признания и престижа диктуют нормативы и идеалы другим научным дисциплинам.

В какое же положение попадает специалист еще не математизированной области? С одной стороны, он связан с традициями своей науки, с другой, – вынужден ориентироваться на новые для него программы, которые не имеют прецедентов в его собственной сфере, но зато богато представлены в совершенно чуждом ему материале лидирующих дисциплин.

Прямой, непосредственный перенос опыта здесь невозможен. Образно выражаясь, науки говорят как бы на разных языках, и термины одного языка могут просто отсутствовать в другом. Необходим поиск, необходима кропотливая робота переводчика с учетом к тому же невозможности вполне адекватного перевода.

Все это и порождает, с одной стороны, методологическую проблему, а с другой, – особую фигуру ученого-методолога.

В чем же заключается мощь и удивительная плодотворность применения математики в различных науках? Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем важнейший, основной метод математизации – это математическое моделирование.

Он состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике.

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки.

Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача — провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте.

Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, — вот типичные примеры прямой задачи.

Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г.

в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20 -кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры.

Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки — разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений[3]. Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Например, изучая численности популяций сардин и рыб-хищников в Средиземном море, В. Вольтерра выделил следующие количественные характеристики:

– численность сардин (обозначив их за x);

– численность хищников (соответственно y).

Далее он выявил важные для него отношения между ними:

1) в среднем все особи одинаковы;

2) популяция сардин увеличивается, если нет встреч с хищником;

3) скорость роста ее численности пропорциональна самой численности (так как каждая особь может произвести потомство);

4) число сардин, гибнущих от хищников пропорционально числу встреч с ними, а это число в среднем пропорционально xy;

5) популяция хищников уменьшается при отсутствии сардин (гибнут от голода);

6) скорость этой убыли пропорциональна численности хищников;

7) скорость прироста числа хищников пропорциональна числу их встреч с кормом-сардинами, то есть величине xy.

Являясь крупным специалистом в теории дифференциальных уравнений, Вольтерра рассматривает x и y как фунции от времени и быстро находит необходимый объект в математике – систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

,

Изучая затем эту систему методами, разработанными другими математиками задолго до него, Вольтерра получает описание и объяснение многих явлений, замеченных за долгую историю рыболовства в Италии, таких например, как странные колебания величины улова сардин (а значит и их общей численности).

Этот пример показывает еще одну идею моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации. Здесь, это допущения одинаковости особей, равновероятности их встреч, равновозможности производить потомство.

Мы как-будто бы абстрагируемся от конкретной сардины и выделяем только нужные для нас ее свойства. Конечно в итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления, но в данном случае нам это и требовалось.

Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу.

Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметно расширились, но некоторые задачи, например долгосрочное прогнозирование погоды, до сих пор являются недоступными.

Удивительным образом оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать много разнообразных явлений в различных областях.

Например, одно дифференциальное уравнение может описывать и рост численности популяции, и химический распад, и цепную ядерную реакцию, и распростронение информации в социальной группе.

Почему модель сечения конуса описывает движение планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки.

Ньютон видел в этом доказательство существования Бога: ”Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа…Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель”.

Page 3

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.

Д. Сантаяна

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.

И. Гете

В заключение можно сказать, что практически любая наука, достигнув зрелости и подойдя к моменту определенного застоя, или столкнувшись с серьезной проблемой, обращается за помощью к математике, ибо все окружающие нас вещи ей подвластны. И такой симбиоз двух наук чаще всего приводит к серьезным прорывам, стремительным рывкам вперед. И зачастую именно в таких ситуациях происходят открытия и в самой математике.

1. Аронов Р.А. Пифагорейский синдром в науке и философии // Вопросы философии. 1996, №4. С.134-146.

2. Баженов Л.Б. и др. Философия естествознания. Вып.1. М.: Изд. полит. лит. 1966.

3. Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю.Д. Максимова. — Спб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. — ISBN 5-81940-050-X

4. Арнольд В.И. Для чего мы изучаем математику? Что об этом думают сами математики? // Квант №1, 1993

Источник: https://studbooks.net/920219/filosofiya/matematizatsiya_nauk