МНИМЫЕ ЧИСЛА

Комплексные числа

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb{C} $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt{-1} $, числа $ a,b \in \mathbb{R} $ вещественные. 

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline{z} = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

1. Алгебраическая $ z = a+ib $
2. Показательная $ z = |z|e{i\varphi} $
3. Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b \in \mathbb{R} $ расположены на соответствующих осях плоскости. 

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline{z} $.

Аргумент обозначается $ \varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора  $ \overline{z} $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt{a2+b2} $

Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Если:

1. $ a>0 $, то $ \varphi = arctg\frac{b}{a} $
2. $ a0 $, то $ \varphi = \pi + arctg\frac{b}{a} $
3. $ a

Операции

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

• Складывать и вычитать
• Умножать и делить
• Извлекать корни и возводить в степень
• Переводить из одной формы в другую 

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

$$ z_1 + z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = (a_1 + a_2)+i(b_1 + b_2) $$

$$ z_1 – z_2 = (a_1+ib_1) – (a_2+ib_2) = (a_1 – a_2)+i(b_1 – b_2) $$

Умножение в алгебраической форме:

$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 – b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1) $$

Умножение в показательной форме:

$$ z_1 \cdot z_2 = |z_1|e{i\varphi_1} \cdot |z_2|e{i\varphi_2} = |z_1|\cdot|z_2|\cdot e{i(\varphi_1 + \varphi_2)} $$

Деление в алгебраической форме:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_2 2 + b_2 2} + i \frac{a_2 b_1 + a_1 b_2}{a_2 2 + b_2 2} $$

Деление в показательной форме:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|e{i\varphi_1}}{|z_2|e{i\varphi_2}} = \frac{|z_1|}{|z_2|}e{i(\varphi_1 – \varphi_2)} $$

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

$$ zn = |z|n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

$$ z\frac{1}{n} = |z|\frac{1}{n}\bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\bigg), k=0,1,…,n-1 $$

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

В статье “Комплексные числа: примеры с решением” было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/kompleksnye-chisla.html

Мнимое число • ru.knowledgr.com

Мнимое число – число, которое может быть написано как действительное число, умноженное на воображаемую единицу, которая определена ее собственностью. Квадрат мнимого числа. Например, мнимое число, и его квадрат. За исключением 0 (который и реален и воображаем), мнимые числа производят отрицательные действительные числа, когда согласовано.

Мнимое число может быть добавлено к действительному числу, чтобы сформировать комплексное число формы, где действительные числа и называют, соответственно, реальной частью и воображаемой частью комплексного числа.

Мнимые числа могут поэтому считаться комплексными числами, реальная часть которых – ноль. Имя «мнимое число» было выдумано в 17-м веке как уничижительный термин, числа как таковые были расценены некоторыми как фиктивные или бесполезные.

Термин «мнимое число» теперь означает просто комплексное число с реальной частью, равной, то есть, много форм.

История

Хотя греческий математик и инженер Херон Александрии отмечены как первое, чтобы задумать эти числа, Рафаэль Бомблли сначала записал правила для умножения комплексных чисел в 1572. Понятие появилось в печати ранее, например в работе Джероламо Карданоом.

В то время, такие числа были плохо поняты и расценены некоторыми как фиктивные или бесполезные, очень как ноль, и отрицательные числа однажды были.

Много других математиков не спешили принимать использование мнимых чисел, включая Рене Декарта, который написал о них в его La Géométrie, где воображаемый термин был использован и предназначен, чтобы быть уничижительным.

В 1843 математический физик, Уильям Роуэн Гамильтон, расширил идею оси мнимых чисел в самолете к трехмерному пространству кватерниона imaginaries.

С развитием колец фактора многочленных колец понятие позади мнимого числа стало более существенным, но тогда каждый также находит другие мнимые числа, такие как j tessarines, у которого есть квадрат. Эта идея сначала появилась со статьями Джеймса Кокла, начинающего в 1848.

Геометрическая интерпретация

Геометрически, мнимые числа найдены на вертикальной оси самолета комплексного числа, позволив им быть представленными перпендикуляр реальной оси.

Один способ рассмотреть мнимые числа состоит в том, чтобы рассмотреть стандартную числовую ось, положительно увеличивающуюся в величине вправо, и отрицательно увеличивающуюся в величине налево.

В 0 на этом – оси, – ось может быть оттянута с «положительным» направлением, повышающимся; «положительные» мнимые числа тогда увеличиваются в величине вверх и «отрицательном» увеличении мнимых чисел величины вниз. Эту вертикальную ось часто называют «воображаемой осью» и обозначают, или.

В этом представлении умножение соответствует вращению 180 градусов о происхождении. Умножение соответствует вращению на 90 градусов в «положительном» направлении (т.е.

, против часовой стрелки), и уравнение интерпретируется как говорящий, что, если мы применяем два вращения на 90 градусов вокруг происхождения, конечный результат – единственное вращение на 180 градусов. Обратите внимание на то, что вращение на 90 градусов в «отрицательном» направлении (т.е. по часовой стрелке) также удовлетворяет эту интерпретацию.

Это отражает факт, который также решает уравнение. В целом умножение на комплексное число совпадает с вращением вокруг происхождения аргументом комплексного числа, сопровождаемым вычислением его величиной.

Умножение квадратных корней

Уход должен использоваться в умножении квадратных корней отрицательных чисел. Например, следующее рассуждение неправильное:

:

Ошибка – то, что правило, где основная ценность квадратного корня взята в каждом случае, вообще действительно, только если и соответственно ограничены.

Не возможно расширить определение основных ценностей к квадратным корням всех комплексных чисел в пути, который сохраняет законность правила умножения.

Следовательно в таких контекстах должен быть расценен или как бессмысленный, или как двузначное выражение с возможными ценностями и.

См. также

• формула де Муавра
• NaN (Не число)

Библиография

• объясняют много применений воображаемых выражений.

Внешние ссылки

Источник: http://ru.knowledgr.com/00009344/%D0%9C%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B5%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

Каковы Мнимые Числа? Почему Они Так Важны?

Мнимые числа? А если номера у нас уже не хватило. о трудности математики стала пошлостью. Мы все знаем, что некоторые пропорции все старшеклассники боятся на непонятном языке свои математические учебники не исписаны с, как Викторианские читатели, встречая Улисс в первый раз.

Однако, вместо того чтобы испытывать облегчение, страх только усиливается, когда очередь из тонкого странице посвященной окончанию очередного трудного глава представил их в совершенно новое измерение числа – мнимые числа. В конце концов, введение мнимых чисел открыл нам глаза на совершенно новый раздел математики, другой абсурдных язык природы – комплекс математика. Почему они так значимы, если они даже не настоящие?

“Невозможно” цифры: что такое мнимые числа?
Если число 1-единица или личность действительных чисел, таких, что каждое число может быть записано как число умножить на 1, то мнимые числа-вещественные числа, умноженных на воображаемый единичный ‘я‘.

Мнимая единица представляет собой умный способ обойти математической блокпост. Рассмотрим простейшее квадратное уравнение .

Значение  для которых сумма становится равной нулю, должно быть число, квадрат которого равен -1.

Но это невозможно! Квадратов всех действительных чисел, положительные или отрицательные, могут быть только положительными числами. Другими словами, проблема не имеет решения реальных чисел.

Даже так, давайте решим для  в любом случае. Решение оказывается . Есть блокпост – отрицательные числа не имеют законных квадратный корень. Это неделимое целое  обозначается , таких, что решением данного уравнения будет .

Здесь  оказывается , который может быть записан в виде .

Увидев это, невозможно это первое слово, которое возникало в любое мнение. Квадратный корень из отрицательных чисел-это весьма нелогично, но и отрицательные числа, когда они были впервые введены. Даже Эйлер был смущен ими. Так что не волнуйтесь, если Вы не можете обернуть вокруг головы мнимые числа; изначально, даже самых блестящих математиков не мог.

Неверие результаты, конечно, отрицание комфорт уверенности в том, что мы находим в ритуалах, к которым мы привыкли неизгладимо. Представьте удивление римлян, когда они были введены в базу-10 цифр. Или, бесконечного числа между ними.

Если ноль, или символ, это “что-то” описать “ничего” не было достаточно, понятие отрицательных чисел было введено – число, представляющее количество меньше, чем ничего. Это был худший Римский кошмар.

Несмотря на их ужас, нам нужны эти новые системы… их все.

Существование уравнения, неразрешимые в единой системе, является достаточно распространенной. Только с натуральных чисел,  была бы неразрешимой, если мы введем целые числа.

Сейчас, несмотря на знание как натуральных чисел и целых чисел, уравнение  были бы нерешаемы без введения рациональных чисел. Уравнение  были бы нерешаемы без иррациональных чисел.

И, наконец,  были бы нерешаемы без мнимых чисел.

Можно было бы предположить, что возник мнимых чисел от нашей потребности решать квадратные уравнения, но их существование было на самом деле намекают на кубического уравнения.

Один из старейших и самых популярных проблем, которые вовлекли их было “разделить 10 на две части, продукт которого составляет 40”. Эта проблема была решена путем Джироламо Кардано, который разделил 10 на две равные части 5. Он расправил их (25) и вычесть 40 из него, которая оставила его с -15.

Он пришел к выводу, что квадратный корень -15 добавляемое или вычитаемое из 5 дает две части, произведение которых равно 40.

Теперь, потому что  (для простоты, давайте игнорировать другие корни: ) операции становится сумма:

Какие Комплексные Числа?

Впоследствии, в 1572 году математиком Бомбелли Рафаэль опубликовал свой трактат об алгебре, который излагал в гордом деталь природы мнимых чисел. Это сделало его центральной фигурой в понимании комплексных чисел. Комплексные числа являются комбинацией реальных и мнимых чисел. Комплексное число Z не является суммой или вычитание вещественного числа а и мнимые числа Би, такая, что .

Несмотря на это гениальное произведение, книгу Бомбелли были неодобрительны. Цифры были дублированы фиктивного или даже бесполезно – его сверстники. Декарт назвал их мнимыми таким тоном, что находилась на грани насмешки.

Цифры начисленных прием, когда Эйлер и Гаусс начал набирать их в своей работе. Другими математиками постепенно догнал и понял, насколько огромное значение они имеют, что эти цифры заполнит пустоту в теме.

Впрочем, чернить Декарта застрял, и мы продолжали именовать их как мнимых, так и по сей день.

Таким образом, каждое число представляется вымышленным. Это Центральный аргумент в дискуссии о том, является ли математика был обнаружен или изобрел.

Римляне придумали свои системы для подсчета целом, исчисляемые вещи, такие как держать количество слонов, они проиграли в войне. Процесс может быть примерно переводится как: “давайте представлять этот эксклюзивный набор слоников с этим символом.

Введение нового слона превратит этот набор в новый, другой, эксклюзивный набор, который может быть представлен еще один символ и так далее”.

В этом случае, что отрицательных чисел влечет за собой? Можно сказать, что отрицательное число-это весьма удобный способ в limn долг. Без отрицательных чисел, количественной оценке долга было бы крайне сложно.

Аналогичным образом, комплексные числа представляют собой вращения.

Это делает их повсеместно в областях физики, которые включают векторы и волны, таких как законы электромагнетизма и преобразования Фурье, незаменимый инструмент, который мы используем для анализа музыки.

Новое измерение, я упоминал в прологе реально. Существует плоскость исключительно для построения комплексных чисел, известной как комплексная плоскость.

Чтобы понять, что я имел в виду вращение, давайте в этом новом измерении.

Комплексной плоскости-это 2D-плоскость, на которой реальные цифры нанесены на горизонтальной оси, известной как вещественной оси, и комплексные числа располагаются на вертикальной оси, называют мнимой оси.

Комплекс самолет

Своеобразную картину можно наблюдать каждый раз, когда мы умножаем реальное число с . Графически продукт представляет собой вращение против часовой стрелки вектор Размер  на 90º каждый раз  умножается на него. Если мы предположим, стоимость  1-й, неоднократно возникают только 4 вектора:  и ; четверть круга, полукруг, три четверти круга и полный круг.

Однако, если мы будем вращать этот вектор, скажем, только 45º, результирующий вектор будет лежать в середине двух осей; площадь его метет представляет собой небольшую часть – в этом случае, ровно на одну восьмую окружности. В 45ºлиния подразумевает эквивалентности координат или, как его еще называют, в линии. Если один из таких координат (А, B): (1,1), то можно сделать вывод, что нарисованный вектор представляет собой комплексное число .

Вращение построить в комплексные числа

Тот же вектор можно представить как векторную сумму горизонтальной и вертикальной составляющих — .

Это свойство связывает тригонометрия и комплексные числа в супружеских отношениях, делая их совершенно неразлучны.

Не зря они так распространены в электронике и теории волн. Эта характеристика показывает, насколько глубоко вращения въелась в комплексные числа.

Это способствует эффективному решению задач, проблем, что вращение заботы, проблемы, которые было бы хлопотно или утомительным, если заниматься с обычным математика – выполнимо, но неэффективно.

Однако, лично, наиболее похвальным достижением остается их непосредственное участие в формировании одного из самых красивых зданий в абстрактную математику, один из самых красивых фразы, написанные на языках-природы.

Мандельброта (фото : Creative соммопѕ / Викисклад)

Кривой, построенной на комплексной плоскости, известной как множество Мандельброта, выглядит как огромный сад, который состоит из длинных нелинейных след бесконечные хвойные деревья и цветы.

Это абсурд, как слуга закона просто координат может привести к таким эстетическим чудом. Это визуальное удовольствие для художников Мандала, истинным свидетельством великолепия и детали. И помните, что все это пришло из мнимых чисел.

Математика не перестает меня удивлять.

Источник: http://kubik-rubik.info/pochemuchka/kakovy-mnimye-chisla-pochemu-oni-tak-vazhny.html