Лекции по высшей математике
/Библиотека для студентов/Математика/Материалы по высшей математике/Лекции и конспекты по высшей математике/Лекции по высшей математике
Лекции по высшей математике
Абсолютно все темы! Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Элементарные преобразования. Миноры. Алгебраические дополнения. Обратная матрица. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Теорема о базисном миноре. Матричный метод решения систем уравнений. Метод Крамера.
Решение произвольных систем уравнений. Совместные системы. Определенные системы. Однородная система. Элементарные преобразования систем уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Метод Гаусса. Элементы векторной алгебры. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Линейные операции над векторами. Свойства векторов. Базис. Линейная зависимость векторов. Система координат.
Ортонормированный базис. Линейные операции над векторами в координатах. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Уравнение поверхности в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки. Уравнение плоскости по 2 точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Уравнение плоскости по точке и 2 векторам, коллинеарным плоскости. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости в векторной форме. Расстояние от точки до плоскости. Аналитическая геометрия. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение прямой по точке и угловому коэфициенту. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Угол между прямыми на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярноданной прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Кривые второго порядка. Окружность.
Эллипс. Фокусы. Эксцентриситет. Директрисы. Гипербола. Эксцентриситет гиперболы. Директрисы гиперболы. Парабола. Полярная система координат. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение линии в пространстве. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Параметрическое уравнение прямой. Направляющие косинусы. Угловой коэффициент.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Общие уравнения прямой. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности.
Поверхности вращения. Сфера.Трехосный эллипсоид.Однополостный гиперболоид.Двуполостный гиперболоид.Эллиптический параболоид.Гиперболический параболоид.Конус второго порядка.Цилиндрическая и сферическая системы координат.Связь цилиндрической и декартовой систем координат.Связь сферической и декартовой системы координат.Линейное (векторное) пространство.Свойства линейных пространств.
Линейные преобразования.Матрицы линейных преобразований.Собственные значения и собственные векторы линейныхпреобразований.Характеристическое уравнение.Собственное направление.Преобразование подобия. Квадратичные формы. Определитель квадратичной формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Введение в математический анализ. Числовая последовательность.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел. Монотонные последовательности. Число е. Связь натурального и десятичного логарифмов. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Основные теоремы о пределах. Ограниченные функции. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций.
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Некоторые замечательные пределы.Непрерывность функции в точке.Разрывная функция.Непрерывная функция.Свойства непрерывных функций.Непрерывность некоторых элементарных функций.Точки разрыва и их классификация.
Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерно непрерывные функции. Комплексные числа. Тригонометрическая форма числа. Действия с комплексными числами. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Уравнение Эйлера. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Элементы высшей алгебры.
Основные понятия теории множеств. Операции над множествами. Отношения. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений.Алгебраические структуры.Группа.Изоморфизм.Абелева группа.Кольцо.Поле.Дискретная математика.Элементы комбинаторики.Перестановки.Размещения.Сочетания.Бином Ньютона.Элементы математической логики.Основные равносильности.Булевы функции.Предикаты и кванторы. Графы и сети.
Основные определение. Марицы графов. Достижимость и связность. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Деревья и циклы. Элементы топологии. Метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Топологическое произведение. Связность. Компактность.Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой. Односторонние производные функции в точке. Основные правила дифференцирования. Производные основных функций. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно – степенной функции. Производная обратной функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.
Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи. Формула Тейлора. Формула Лагранжа. Формула Маклорена. Представление функций по формуле Тейлора. Бином Ньютона. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Теоремы о среднем. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Производная и дифференциалы высших порядков.
Правила нахождения производных. Исследование функций. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума. Исследование функций с помощью производных высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функций. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой.
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента. Уравнение нормальной плоскости. Параметрическое задание функции. Окружность. Эллипс. Циклоида. Астроида. Производная функции, заданной параметрически. Кривизна плоской кривой. Угол смежности. Средняя кривизна. Кривизна дуги в точке. Радиус кривизны. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Свойства эволюты.
Кривизна пространственной кривой. Годограф. нормаль. Вектор и радиус кривизны. Формулы Френе. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение кривой. Интегральное исчисление. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Способ подстановки. Интегрирование по частям.
Интегрирование элементарных дробей. Рекуррентная формула. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов. Метод произвольных значений. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование иррациональных функций. Биноминальные дифференциалы. Тригонометрическая подстановка.
Подстановки Эйлера. Метод неопределенных коэффициентов. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Эллиптические интегралы. Интеграл Пуассона. Интеграл Френеля. Интегральный логарифм. Интегральный синус и косинус. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Интегрируемая функция. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.
Вычисление определенного интеграла. Теорема Ньютона – Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула парабол (Симпсона). Несобственные интегралы. Абсолютная сходимость интеграла. Интеграл от разрывной функции. Нахождение площадей плоских фигур.
Нахождение площади криволинейного сектора. Вычисление длины дуги кривой. Вычисление объемов тел по поперечным сечениям. Вычисление объемов тел вращения. Площадь поверхности тела вращения. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. Наибольшее и наименьшее значения. Частное приращение. Частная производная. Геометрический смысл частных производных.
Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Производная по направлению. Направляющие косинусы.
Градиент. Связь градиента с производной по направлению. Кратные интегралы. Двойные интегралы. Условия существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат.
Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у' = f(х). Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли. Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности. Уравнения вида у = f(y') и x = f(y'). Уравнения Лагранжа и Клеро. Геометрическая интерпретация решений дифференциальногоуравнения первого порядка.Поле направлений.
Изоклины.Численные методы решения дифференциальных уравнений.Метод Эйлера.Ломаная Эйлера.Уточненный метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка n-1 включительно.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.Линейные однородные дифференциальные уравненияс произвольными коэффициентами.Структура общего решения.Фундаментальна система решений.Определитель Вронского.Общее решение линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентами.Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.Метод вариации произвольных постоянных.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.Уравнения с правой частью специального вида.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальныхуравнений.Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Элементы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову. Точка покоя. Теорема Ляпунова. Классификация точек покоя. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Классификация основных типов уравнений математической физики. Уравнение колебаний струны. Граничные, начальные и краевые условия. Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).Решение задачи Коши методом Даламбера.Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Задача Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга. Ряды. Основные определения. Свойства рядов. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные последовательности. Область сходимости. Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.Степенные ряды.Теоремы Абеля.Радиус сходимости.Действия со степенными рядами.Разложение функций в степенные ряды.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.Ряды Фурье.Тригонометрический ряд.Коэффициенты Фурье.Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.Разложение в ряд Фурье непериодической функции.Ряд Фурье для четных и нечетных функций.Ряд Фурье для функций любого периода.Ряд Фурье по ортогональной системе функций.Интеграл Фурье.Преобразование Фурье.
Элементы теории функций комплексной переменной.Свойства функций комплексной переменной.Основные трансцендентные функции.Производная функций комплексной переменной.Условия Коши – Римана.Интегрирование функций комплексного переменного.Теорема Коши.Интегральная формула Коши.Ряды Тейлора и Лорана.Изолированные особые точки.Теорема о вычетах.Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Операционное исчисление.Преобразование Лапласа.Свойства изображений.Таблица изображений некотрых функций.Теорема свертки и запаздывания.Интеграл Дюамеля.Решение дифференциальных уравнений с помощью операционногоисчисления.Криволинейные интегралы.
и многое многое другое. Всего рассмотрено более 250 тем.
Скачать
Самые популярные материалы
Источник: http://geum.ru/trainer/book/page/544-lectures-on-higher-mathematics.php
Исследование элементарных функций
Сохрани ссылку в одной из сетей:
Красноярский ГосударственныйПедагогический Университет им. В.П.Астафьева.
Реферат
Натему: «Исследование элементарныхфункций».
Выполнила:КвашенкоД.В.
Проверил:АдольфВ.А.
г.Красноярск
2005г.
- Определение элементарных функций…………….3
- Функция и её свойства……………………………………..3
- Способы задания функции……………………………….4
- Определение функции……………………………………..4
- Исследование элементарных функций………….6
а)Линейнаяфункция………………………………….7
б)Степеннаяфункция…………………………………..8
в)Показательнаяфункция……………………………9
г)Логарифмическаяфункция……………………..10
д)Тригонометрическаяфункция………………..11
- Y=sinx……………………………….…11
- Y=cosx…………………………………13
- Y=tgx…………………………………..14
- Y=ctgx…………………………………15
е)Обратно тригонометрическаяфункция..16
- Y=arcsinx…………………………….16
- Y=arccosx……………………………17
- Y=arctgx……………………………..18
- Y=arcctgx…………………………….19
- Список литературы………………………………………..20
Определениеэлементарных функций.
ФункцииС (постоянная), xⁿ,ах,1оgах, sinх, соsх, tgх, ctgx,аrcsinх, аrccosх, аrctgх называются простейшимиэлементарнымифункциями.
Применяяк этим функциям арифметические действияилиоперации функции от функции,мы будем получать новые более сложныефункции,которые называются элементарнымифункциями.
Например,у = sin (xⁿ)— элементарная функция.
Элементарныефункции нам известны из школьнойматематики.
Функция,и её свойства:
Функция– зависимость переменнойу от переменнойx,если каждому значению хсоответствует единственное значениеу.
●Переменнаях – независимаяпеременная или аргумент.
●Переменнаяу –зависимая переменная.
●Значениефункции – значениеу, соответствующеезаданному
значениюх.
●Областьопределения функции– все значения, которыепринимает независимая переменная.
●Областьзначений функции (множество значений)-все значения, которыепринимает функция.
●Функцияявляется четной –если для любого хиз области определения функции выполняетсяравенство f(x)=f(-x).
●Функцияявляется нечетной –если для любого хиз области определения функции выполняетсяравенство f(-x)=-f(x).
●Возрастающаяфункция – еслидля любых х1и х2,таких, что х10,функция убывает при k0,то этот угол острый, если k
9. Точек перегиба не существует.
10. Не существуетэкстремальных точек.
y=kx+b (k0)
Степеннаяфункция.
Степеннаяфункция с натуральным показателем y=xn,
гдеn-натуральноечисло.
1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=(0+∞);
3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);
4. Нулифункции: y=0при x=0;
5. Функция убывает при x(-∞;0];
6. Функция возрастает при x[0;+∞);
-
a
) нет вертикальных асимптот
b) нетнаклонных асимптот
8. Если n-четное,то экстремум функции x=0
Если n-нечетное,то экстремумов функции нет
9. Если n-четное,то точек перегиба нет
Если n-нечетное,то точка перегиба x=0
10. График функции:
a) Если n=2, то графиком функции является квадратнаяпарабола;
b)Если п = 3, тофункция задана формулой у= х3.Ее графиком является кубическая парабола;
c)Еслип — нечетноенатуральное число, причем п1, то функция обладает свойствамитеми же, что и у= х3.
n – четное
n – нечетное
[1]
[2]
Рассмотримсвойства степенной функции с нечетнымпоказателем (п1):
1. Область определения функции:D(f)=R;
2. Область значений [0,+∞];
3. Функция является четной,т.е. f(-х)=f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х =0;
5. Функция убывает на промежутке(-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).
6. График функции: [1]
Рассмотримсвойства степенной функции с четнымпоказателем :
1. Область определения функции:D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=R;
3. Функция является нечетной,т.е. f(-х)=-f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х =0;
5. Функция возрастает на всейобласти определения.
6. График функции: [2]
Показательнаяфункция.
Y= ax
-
Область определения функции: -∞ < х < +∞
-
Множество значений функции: 0 < y < +∞
-
Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x
-
Функция не является периодической.
-
Асимптоты графика функции:
Вертикальныхасимптот не существует,
Горизонтальнаяасимптота у = 0
-
Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);
-
если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);
-
Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.
9. Не существует точек перегиба.
10.Не существует экстремальных точек.
[2] [1]Логарифмическаяфункция.
Y= logax
-
Область определения функции: 0 < x < ∞
-
Множество значений функции: -∞ < y < +∞
-
Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)
-
Функция не периодическая
-
Асимптоты графика функции:
Вертикальныеасимптоты х = 0
Горизонтальныхасимптот не существует
-
Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);
если 0 < a< 1, то функция убывает на этом жепромежутке (на рис.2);
-
Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями
координат.
8.Несуществует точек перегиба.
9.Несуществует экстремальных точек.
[2] [1]Тригонометрическиефункции.
Функцияy=sinx
Свойства функции y=sinx:
-
Область определения функции: D(f)=R;
-
Область значений: E(f)=[-1;1];
-
Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = – sin x;
-
Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;
-
Нули функции: sin x = 0 при x = πk, kZ;
-
Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x( 2πk π+2πk), kZ;
-
Функция принимает отрицательные значения: sin x( π+2πk 2π+2πk), kZ;
-
Функция возрастает на [-1;1] при x[ -+2πk +2πk], kZ;
-
Функция убывает на [1;-1] при x[+2πk +2πk], kZ;
-
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=+2πk, kZ;
-
Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=+2πk, kZ;
-
a) нет вертикальных асимптот
b) нетгоризонтальных асимптот
13.Графиком функции является синусоида.
y=sinx
0 при x( -+2πk; +2πk), kZ;
Функция принимает отрицательные значения: cos x( +2πk +2πk), kZ;
Функция возрастает на [-1;1] при x[ -π+2πk 2πk], kZ;
Функция убывает на [1;-1] при x[2πk π+2πk], kZ;
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2πk, kZ;
Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=π+2πk, kZ;
a
) нет вертикальных асимптот
b
)нет горизонтальных асимптот
-
Графиком функции является косинусоида:
y=cosx
Функцияy=tgx
Свойства функции y=tgx:
-
Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =+πk, kZ;
-
Область значений: E(f)=R;
-
Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = – tg x;
-
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
-
Нули функции: tg x = 0 при x = πk, kZ;
-
Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x( πk; +πk), kZ;
-
Функция принимает отрицательные значения: tg x( -+πk πk), kZ;
-
Функция возрастает на (-;+∞) при x(-+πk +πk ), kZ;
-
a
) вертикальные асимптоты x= + πn
b)наклонных асимптот нет
-
Графиком функции является тангенсоида:
y=tgx
Функцияy=ctgx
Свойства функции y=ctgx:
-
Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где n Z;
-
Область значений: E(f)=R;
-
Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = – ctg x;
-
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
-
Нули функции: ctg x = 0 при x = +πn, nZ;
-
Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x( πn; +πn), nZ;
-
Функция принимает отрицательные значения: ctg x( +πn π +πn), nZ;
-
Функция убывает в каждом из промежутков (πn π +πn), nZ;
-
a) вертикальные асимптоты x= πn и x=0
b) наклонныхасимптот нет
-
Г
рафиком функции является котангенсоида: y= ctgx
Обратнотригонометрические функции.
Функция y=arcsinx
Свойства функцииy=arcsinx:
-
Область определения функции: D(f)=[-1;1];
-
Область значений: E(f)=[-; ];
-
Функция является нечетной, т.е. arcsin (-x) = – arcsin x;
-
Нули функции: arcsin x = 0 при x = 0;
-
Функция возрастает на [-1;1];
-
Функция принимает наибольшее значение при x=1;
-
Функция принимает наименьшее значение при x= -1;
-
a
) вертикальных асимптот нет
b)наклонных асимптот нет
-
График функции y = arcsin x:
y=arcsinx
Функция y=arccosx
Свойствафункции y=arccosx:
-
Область определения функции: D(f)=(-1;1);
-
Область значений: E(f)=[0; π];
-
Функция неявляется ни четной, ни нечетной;
-
Нули функции: arccos x = 0 при x = 1;
-
Функция убывает на (-1;1);
-
Функция принимает наибольшее значение π при x =-1;
-
Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1;
-
a) вертикальные асимптоты x=-1 и x=1
b)наклонныхасимптот нет
-
График функции y = arccos x:
y=arccosx
Функцияy=arctgx
Свойства функцииy=arctgx:
-
Область определения функции: D(f)=R;
-
Область значений: E(f)= (-; );
-
Функцияявляется нечетной, т.е. arctg (- x) = – arctg x;
-
Нули функции: arctg x = 0 при x = 0;
-
Функция возрастает на R;
-
a) нет вертикальных асимптот
-
наклонные асимптоты y=+ πn
-
График функции y = arctg x:
y=arctgx
Функцияy=arcctgx
Свойствафункции y=arcctgx:
-
Область определения функции: D(f)=R;
-
Область значений: E(f)= (0; π );
-
Функция неявляется ни четной, ни нечетной;
-
Нули функции: arctg x = 0 при x = ;
-
a) нет вертикальных асимптот
b)наклонные асимптоты y= πn
6.Функцияубывает на R;
7.Графикфункции y= arcctgx:
Литература:
- Э.С. Маркович «Курс высшей математики»
- А.Г. Цыпкин «Справочник по математике»
- М.М. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко «Алгебра и анализ элементарных функций»
Источник: https://works.doklad.ru/view/_AXo1b3K0Ps/all.html
Элементарные функции
- Введение
- 1 Элементарные функции по Лиувиллю
- 2 Дифференцирование элементарных функций
- 3 Интегрирование элементарных функций
- 3.1 Интегрирование функций вида p(x)eq(x)
- 3.
2 Интегрирование алгебраических функций
- 4 Вычисление пределов
Примечания
Литература
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
- многочлен,
- рациональная,
- степенная,
- показательная и логарифмическая,
- тригонометрические и обратные тригонометрические.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.
1. Элементарные функции по Лиувиллю
Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире.
Элементарная функция y переменной x — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция от x и функций , причём z1 является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g1 от x, z2 является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g2 от x и z1(x) и так далее.
Например, y = sin(x) — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией eix. Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:
y = z2, где .
Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех x, то все коэффициенты полинома равны нулю.
2. Дифференцирование элементарных функций
Элементарные функции бесконечно дифференцируемы всюду, где они определены. При этом производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции
где z1'(z) равно или g1' / g1 или z1g1' в зависимости от того, логарифм ли z1 или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.
3. Интегрирование элементарных функций
Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:
Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде
где Ai — некоторые комплексные числа, а ψi — алгебраические функции своих аргументов.
Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от y берётся в элементарных функциях, то верно
где ψ — алгебраическая функция, zr + 1 — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида
где ρi — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то
откуда
Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.
3.1. Интегрирование функций вида p(x)eq(x)
Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл
где p,q — полиномы, берётся в элементарных функциях, то
,
где r(x) — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению
r' + q'(x)r = p(x)
Пример. В частности, интеграл
не берётся, поскольку подстановка
в уравнение
r' + 2xr = 1
даёт A = 0. Интеграл же
берётся, поскольку
r' + 2xr = x
имеет решение r = 1 / 2. При этом, конечно,
Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля
Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе C верно
Дифференцируя по C и полагая C = 1, видим, что интеграл выражается алгебраически через x,eq(x), то есть
Опять применяя принцип Лиувилля, имеем
Cψ(x,eq(x)) = ψ(x,Ceq(x)) + f(C).
Дифференцируя по C и полагая C = 1, имеем
при z = eq(x), а следовательно, в силу алгебраической независимости x,eq(x), при всех x,z. Поэтому
ψ(x,z) = − B + zr(x),
где r — некоторая алгебраическая функция x. Таким образом,
Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функций x, то r — полином. Следствие доказано.
3.2. Интегрирование алгебраических функций
Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов, которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса, Пташицкого[1] и Риша[2].
Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple.
См. также: Список интегралов элементарных функций
4. Вычисление пределов
Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность .[3]
Примечания
- Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Art. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901 г.)
- Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. Гл. 4. М., «Мир», 1985
- Q&A – www.mccme.ru/ask/qa/pi_irr.html
Литература
- J. Liouville. Mémoire sur l’intégration d’une classe de fonctions transcendantes – dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D267366 // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
- J.F. Ritt. Integration in Finite Terms. N.-Y., 1949// http://lib.homelinux.org – lib.
homelinux.org
- А. Г. Хованский. Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде – www.mccme.ru/free-books/hov-galois/hov-galois.html Гл. 1. M, 2007
скачать
Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 10.07.
11 23:54:52
Похожие рефераты: Элементарные частицы, Элементарные процессы, Элементарные частицы (фильм), Элементарные преобразования матрицы, Элементарные частицы (роман), R-функции, Логические функции, Булевы функции, Исполнительные функции.
Категории: Математический анализ, Элементарные функции, Дифференциальная алгебра, Типы функций.
Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareA.
Источник: http://wreferat.baza-referat.ru/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
Add comment