Kievuz

Уравнения Шрёдингера

Содержание

Уравнение Шредингера

Уравнения Шрёдингера

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к.

состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных (х и ), а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов.

Итак, состояние квантовой частицы можно характеризовать волновой функцией (комплексной), в двух представлениях — либо в координатном: , либо в импульсном: . Уравнение движения свободной частицы особенно просто выглядит в импульсном представлении, т.к. импульс свободной частицы сохраняется.

Это означает на квантовом языке, что функция .не зависит от времени.

Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости.

И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени.

Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

где  – оператор Лапласа, x.y.z. – координаты,  — постоянная Планка, деленная на 2.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Если  не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

где E-полная энергия квантовой системы, а  удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера

С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно.

В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл.

Можно сказать, в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. События же всегда случайны и совершаются непредсказуемо.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции.

Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы.

Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингера  прямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения  ,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где -комплексно сопряженная функция с .

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.

Примеры решения задач

Источник: http://xn--b1agsdjmeuf9e.xn--p1ai/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%88%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B0/

Уравнение Шредингера • ru.knowledgr.com

Уравнения Шрёдингера

В квантовой механике уравнение Шредингера — частичное отличительное уравнение, которое описывает, как квантовое состояние физической системы изменяется со временем. Это было сформулировано в конце 1925 и издано в 1926 австрийским физиком Эрвином Шредингером.

В классической механике уравнение движения — второй закон Ньютона, , используемый, чтобы математически предсказать то, что система сделает в любое время после начальных условий системы.

В квантовой механике аналог закона Ньютона — уравнение Шредингера для квантовой системы (обычно атомы, молекулы и субатомные частицы ли свободный, связанный или локализованный).

Это не простое алгебраическое уравнение, но в целом линейное частичное отличительное уравнение, описывая развитие времени волновой функции системы (также вызвал «государственную функцию»).

Понятие волновой функции — фундаментальный постулат квантовой механики. Уравнение Шредингера также часто представляется как отдельный постулат, но некоторые авторы утверждают, что оно может быть получено из принципов симметрии. Обычно «происхождения» SE демонстрируют его математическое правдоподобие для описания дуальности частицы волны.

В стандартной интерпретации квантовой механики волновая функция — наиболее полное описание, которое может быть дано физической системы.

Решения уравнения Шредингера описывают не только молекулярные, атомные, и субатомные системы, но также и макроскопические системы, возможно даже целая вселенная.

Уравнение Шредингера, в его самой общей форме, совместимо и с классической механикой и со специальной относительностью, но оригинальная формулировка самим Шредингером была нерелятивистской.

Уравнение Шредингера не единственный способ сделать предсказания в квантовой механике — другие формулировки могут использоваться, такие как матричная механика Вернера Гейзенберга и формулировка интеграла по траектории Ричарда Феинмена.

Уравнение с временной зависимостью

Форма уравнения Шредингера зависит от физической ситуации (см. ниже для особых случаев). Самая общая форма — уравнение Шредингера с временной зависимостью, которое дает описание системы, развивающейся со временем:

то

, где воображаемая единица, является Планком, постоянным разделенный на, символ ∂ / ∂tindicates частная производная относительно времени, (греческая буква Psi) является волновой функцией квантовой системы и является гамильтоновым оператором (который характеризует полную энергию любой данной волновой функции и принимает различные формы в зависимости от ситуации).

Самый известный пример — нерелятивистское уравнение Шредингера для единственной частицы, перемещающейся в электрическое поле (но не магнитное поле; посмотрите уравнение Паули):

где «уменьшенная масса частицы», ее потенциальная энергия, Laplacian и волновая функция (более точно, в этом контексте, это называют «космической положением волновой функцией»). На простом языке это означает, что «полная энергия равняется кинетической энергии плюс потенциальная энергия», но условия принимают незнакомые формы по причинам, объясненным ниже.

Учитывая особые включенные дифференциальные операторы, это — линейное частичное отличительное уравнение. Это — также уравнение распространения, но в отличие от теплового уравнения, этот — также уравнение волны, данное воображаемую единицу, существующую в переходном термине.

Термин «уравнение Шредингера» может отнестись к обоим общее уравнение (первая коробка выше), или определенная нерелятивистская версия (вторая коробка выше и изменения этого).

Общее уравнение действительно довольно общее, используется всюду по квантовой механике, для всего от уравнения Дирака до квантовой теории области, включая различные сложные выражения для гамильтониана.

Определенная нерелятивистская версия — упрощенное приближение к действительности, которая довольно точна во многих ситуациях, но очень неточна в других (см. релятивистскую квантовую механику и релятивистскую квантовую теорию области).

Чтобы применить уравнение Шредингера, гамильтонов оператор настроен для системы, объяснив кинетическую и потенциальную энергию частиц, составляющих систему, затем вставил в уравнение Шредингера. Получающееся частичное отличительное уравнение решено для волновой функции, которая содержит информацию о системе.

Независимое от времени уравнение

Независимое от времени уравнение Шредингера предсказывает, что функции волны могут сформировать постоянные волны, названные устойчивыми состояниями (также названный «orbitals», как в атомном orbitals или молекулярном orbitals).

Эти государства важны самостоятельно, и если устойчивые состояния классифицированы и поняты, то становится легче решить уравнение Шредингера с временной зависимостью для любого государства. Независимое от времени уравнение Шредингера — уравнение, описывающее устойчивые состояния.

(Это только используется, когда сам гамильтониан не зависит вовремя. В целом у волновой функции все еще есть зависимость времени.)

В словах, государствах уравнения:

:: Когда гамильтонов оператор действует на определенную волновую функцию, и результат пропорционален той же самой волновой функции, затем является устойчивым состоянием, и постоянная пропорциональность, является энергией государства.

Независимое от времени уравнение Шредингера обсуждено далее ниже. В линейной терминологии алгебры это уравнение — уравнение собственного значения.

Как прежде, самое известное проявление — нерелятивистское уравнение Шредингера для единственной частицы, перемещающейся в электрическое поле (но не магнитное поле):

с определениями как выше.

Значения

Уравнение Шредингера и его решения, ввели прорыв в размышлении о физике. Уравнение Шредингера было первым из своего типа, и решения привели к последствиям, которые были очень необычны и неожиданны в течение времени.

Полная, кинетическая, и потенциальная энергия

Полная форма уравнения весьма обычна или неожиданна, поскольку это использует принцип сохранения энергии. Условия нерелятивистского уравнения Шредингера могут интерпретироваться как полная энергия системы, равной системе кинетическая энергия плюс системная потенциальная энергия. В этом отношении это все равно как в классической физике.

Квантизация

Уравнение Шредингера предсказывает, что, если определенные свойства системы измерены, результат может квантоваться, означая, что только определенные дискретные ценности могут произойти.

Один пример — энергетическая квантизация: энергия электрона в атоме всегда — один из квантовавших энергетических уровней, факт, обнаруженный через атомную спектроскопию. (Энергетическая квантизация обсуждена ниже.) Другой пример — квантизация углового момента.

Это было предположением в более ранней модели Bohr атома, но это — предсказание уравнения Шредингера.

Другой результат уравнения Шредингера состоит в том, что не каждое измерение дает квантовавший результат в квантовой механике. Например, у положения, импульса, время, и (в некоторых ситуациях) энергия может быть любая стоимость через непрерывный диапазон.

Измерение и неуверенность

В классической механике частица имеет, в каждый момент, точное положение и точный импульс. Эти ценности изменяются детерминировано, когда частица перемещается согласно законам Ньютона.

В квантовой механике у частиц нет точно определенных свойств, и когда они измерены, результат беспорядочно оттянут из распределения вероятности.

Уравнение Шредингера предсказывает, каковы распределения вероятности, но существенно не могут предсказать точный результат каждого измерения.

Принцип неуверенности Гейзенберга — заявление врожденной неуверенности измерения в квантовой механике. Это заявляет что, чем более точно положение частицы известно, тем менее точно его импульс известен, и наоборот.

Уравнение Шредингера описывает (детерминированное) развитие волновой функции частицы. Однако, даже если волновая функция известна точно, результат определенного измерения на волновой функции сомнителен.

Квантовое туннелирование

В классической физике, когда шар катят медленно большой холм, он прибудет в остановку и откатится назад, потому что у него нет достаточного количества энергии добраться поверх холма до другой стороны.

Однако уравнение Шредингера предсказывает, что есть маленькая вероятность, что шар доберется до другой стороны холма, даже если у этого будет слишком мало энергии достигнуть вершины. Это называют квантовым туннелированием.

Это связано с распределением энергии: Хотя принятое положение шара, кажется, находится на одной стороне холма, есть шанс нахождения его с другой стороны.

Частицы как волны

Нерелятивистское уравнение Шредингера — тип частичного отличительного уравнения, названного уравнением волны. Поэтому это, часто говорил, что частицы могут показать поведение, обычно приписываемое волнам.

В большинстве современных интерпретаций это описание полностью изменено – квантовое состояние, т.е.

волна, является единственной подлинной физической действительностью, и при соответствующих условиях это может показать особенности подобного частице поведения.

Дифракция с двумя разрезами — известный пример странных поведений, которые регулярно показывают волны, которые интуитивно не связаны с частицами.

Накладывающиеся волны от этих двух разрезов уравновешивают друг друга в некоторых местоположениях и укрепляют друг друга в других местоположениях, заставляя сложный образец появиться.

Интуитивно, нельзя было бы ожидать этот образец от увольнения единственной частицы в разрезах, потому что частица должна пройти через разрез того или другой, не сложное наложение обоих.

Однако, так как уравнение Шредингера — уравнение волны, единственная частица, запущенная через двойной разрез, действительно показывает этот тот же самый образец (рассчитайте на право).

Отметьте: эксперимент должен быть повторен много раз для сложного образца, чтобы появиться. Появление образца доказывает, что каждый электрон проходит через оба разреза одновременно.

Хотя это парадоксально, предсказание правильно; в частности электронная дифракция и нейтронная дифракция хорошо понимаются и широко используются в науке и разработке.

Связанный с дифракцией, частицы также показывают суперположение и вмешательство.

Собственность суперположения позволяет частице быть в квантовом суперположении двух или больше государств с различными классическими свойствами в то же время.

Например, частица может иметь несколько различных энергий в то же время и может быть в нескольких различных местоположениях в то же время. В вышеупомянутом примере частица может пройти через два разреза в то же время.

Это суперположение — все еще единственное квантовое состояние, как показано эффектами взаимодействия, даже при том, что это находится в противоречии с классической интуицией.

Интерпретация волновой функции

Уравнение Шредингера обеспечивает способ вычислить волновую функцию системы и как это изменяется динамично вовремя. Однако уравнение Шредингера непосредственно не говорит, какова, точно, волновая функция. Интерпретации квантовой механики обращаются к вопросам такой как, что отношение между волновой функцией, основной действительностью и результатами экспериментальных измерений.

Важный аспект — отношения между уравнением Шредингера и крахом волновой функции. В самой старой Копенгагенской интерпретации частицы следуют за уравнением Шредингера кроме во время краха волновой функции, во время которого они ведут себя полностью по-другому.

Появление кванта decoherence теория позволило альтернативные подходы (такие как Эвереттская интерпретация много-миров и последовательные истории), в чем уравнение Шредингера всегда удовлетворяется, и крах волновой функции должен быть объяснен в результате уравнения Шредингера.

Исторический фон и развитие

Квантизация следующего Макса Планка света (см.

радиацию черного тела), Альберт Эйнштейн интерпретировала кванты Планка, чтобы быть фотонами, частицами света, и предложила, чтобы энергия фотона была пропорциональна его частоте, одному из первых признаков дуальности частицы волны.

Так как энергия и импульс связаны таким же образом как частота и wavenumber в специальной относительности, это следовало за этим, импульс фотона обратно пропорционален его длине волны или пропорционален его wavenumber.

:

где константа Планка. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что это верно для всех частиц, даже частицы, у которых есть масса, такая как электроны. Он показал, что, предполагая, что волны вопроса размножаются наряду с их коллегами частицы, форма электронов постоянные волны, означая, что только определенные дискретные вращательные частоты о ядре атома позволены.

Эти квантовавшие орбиты соответствуют дискретным энергетическим уровням, и де Брольи воспроизвел формулу модели Bohr для энергетических уровней. Модель Bohr была основана на принятой квантизации углового момента согласно:

:

Согласно де Брольи электрон описан волной, и целое число длин волны должно соответствовать вдоль окружности орбиты электрона:

:

Этот подход по существу ограничил электронную волну в одном измерении вдоль круглой орбиты радиуса.

В 1921, до де Брольи, Артур К.

Ланн в Чикагском университете использовал тот же самый аргумент, основанный на завершении релятивистского энергетического импульса, с 4 векторами, чтобы получить то, что мы теперь называем отношением де Брольи В отличие от де Брольи, Ланн продолжал формулировать отличительное уравнение, теперь известное как уравнение Шредингера и решать для его энергетических собственных значений для водородного атома. К сожалению, бумага была отклонена Physical Review, как пересчитано Кэйменом.

Источник: http://ru.knowledgr.com/00040685/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%A8%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B0

Общий вид уравнения Шредингера

Рисунок 2. Эрвин Шрёдингер (1887 — 1961)

Волновое уравнение, применяемое для расчета стационарных состояний системы, можно записать в символическом виде:

${\mathcal H}\psi =E\psi $ (1)

где $H$ представляет собой определенный способ выражения общей энергии системы, а $E$ – числовое значение этой энергии. Для всех систем, которые обычно интересуют химиков, общая энергия представляет собой сумму кинетической энергии $Т$ и потенциальной энергии $V$:

$H=T+V$ (2)

Это соотношение было широко использовано физиком-теоретиком Гамильтоном, поэтому $H$ часто называют функцией Гамильтона, а $\mathcal H$ гамильтонианом системы.

Уравнение Шредингера на примере атома водорода

Рассмотрим модель атома водорода, предложенную Бором. Для простоты предположим, что тяжелое ядро закреплено (оно почти, но не совершенно неподвижно, когда электрон движется вокруг него). Тогда полная кинетическая энергия $Т$ системы представляет собой просто кинетическую энергию электрона

$T=\frac{1}{2} mv{2} $ (3)

где $m$ – масса электрона и $u$ – его скорость. Потенциальная энергия системы есть просто энергия, возникающая вследствие электростатического взаимодействия (гравитационные силы приблизительно в $10{18}$ раз меньше), и ее можно выразить как

$V=-\frac{e{2} }{r} $ (4)

где $e$ — заряд электрона, $r$ — радиус орбиты, знак минус появляется вследствие того, что заряд одной из частиц положителен $(+)$, а другой отрицателен $(-)$. Поэтому для атома водорода функция Гамильтона в классической (т.е. доквантовомеханической) физике равна:

$H=\frac{1}{2} mv{2} -\frac{e{2} }{r} $ (5)

Если использовать понятие количества движения электрона $p=mu$, данное уравнение запишется в следующем виде:

$H=\frac{p{2} }{2m} -\frac{e{2} }{r} $ (6)

Теперь для перехода от классического описания этой или какой-либо другой системы к описанию при помощи волновой механики, необходимо взять функцию Гамильтона (уравнение 6) и произвести в ней определенные замены: в функции Гамильтона количество движения следует заменить выражением

$\frac{\hbar }{2\pi } \left(\frac{\partial }{\partial x} +\frac{\partial }{\partial y} +\frac{\partial }{\partial z} \right)$ (7)

Таким образом, гамильтониан для атома водорода в его квантовомеханической форме ${\mathcal H}$ следует записать в виде

${\mathcal H}=-\frac{{\hbar }2}{8{\pi }2m}\left(\frac{{\partial }2}{\partial x2}+\frac{{\partial }2}{\partial y2}+\frac{{\partial }2}{\partial z2}\right)-\frac{e2}{r}$ (8)

Если теперь это выражение гамильтониана подставить в общее волновое уравнение (уравнение 1), то получим:

${\mathcal H}\psi =\left[-\frac{{\hbar }2}{8{\pi }2m}\left(\frac{{\partial }2}{\partial x2}+\frac{{\partial }2}{\partial y2}+\frac{{\partial }2}{\partial z2}\right)-\frac{e2}{r}\right]\psi =E\psi $ (9)

Это и есть волновое уравнение для атома водорода. Из уравнения 9 следует, что нужно вторые производные функции $\psi $ сложить и умножить на $-{{\hbar }2}/{8{\pi }2m}$, затем к этому добавить $\left(-{e2}/{r}\right)\psi $, тогда получим величину, тождественную Е$\psi $.

Если найдена функция $\psi $, то говорят, что она является решением волнового уравнения, и ее называют волновой функцией. Вообще, может быть несколько различных функций $\psi_1$, $\psi_2$, …

, $\psi_n$, которые являются решениями уравнения 9, причем каждой соответствует свое значение энергии $Е_1$, $Е_2$, … , $Е_n$.

Источник: https://spravochnick.ru/himiya/atomnye_i_molekulyarnye_orbitali/uravnenie_shredingera/

4.1. Уравнение Шредингера

    В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где  – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой  и  заменены операторами импульса x, y, z и координаты , , :

х →  = х,            y →  = y,          z →  = z,

(4.2)
Зависящее от времени уравнение Шредингера:где  – гамильтониан системы.Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если  не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ илиЛевая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим EСледовательно,θ(t) = exp(−iEt/ћ),  ψ() = Eψ() и  Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:илиДля трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():−(ћ2/2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),где Δ – лапласиан.

    Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ(). (4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) (4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)|2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)
Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx, (4.7)

 где k = (2mE/ћ2)1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

 kL = nπ,   n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

  n = 1, 2, 3, … (4.9)

    Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
    Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки

имеет вид

(4.10)

    В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E < ћ2π2/(2mL2). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

 Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

    Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2, (4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
    С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Одномерная прямоугольная яма шириной L:  n = 1, 2, …Одномерный гармонический осциллятор:En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

    В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

    Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ), (4.15)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ) (4.16)

или

Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)  (4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента 2. Уравнение (4.

17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).

    Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r0 = ћ2/mee2 ≈ 0.529·108 cм.

Решения уравнения существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).     Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым: n = 1, 2, …, ∞.  Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

    Собственные значения L2 и Lz являются решением уравнений

2Ylm(θ,φ) = L2Ylm(θ,φ)     и       zYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

   L2 = ћ2l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm,  где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

    Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0 s-состояние
l = 1 p-состояние
l = 2 d-состояние
l = 3 f-состояние
l = 4 g-состояние
l = 5 h-состояние
и. т. д.

    Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0  волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ).

Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией.

Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
    Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

    Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

    Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/sem2/sem04.html

Уравнение Шрёдингера

Уравнения Шрёдингера

    Введение

  • 1 Формулировка
    • 1.1 Общий случай
    • 1.2 Случай трёхмерного пространства
    • 1.3 Стационарное уравнение Шрёдингера
    • 1.

      4 Получение уравнения Шрёдингера предельным переходом

  • Литература
    Примечания

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из фундаментальных законов физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики.

Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае.

Это подтверждается при более глубоком анализе теории: если размер и масса тела становятся макроскопическими и точность слежения за его координатой много хуже стандартного квантового предела, прогнозы квантовой и классической теорий совпадают, потому что неопределённый путь объекта становится близким к однозначной траектории.

1.1. Общий случай

В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией.

В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности).

Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где ,  — постоянная Планка;  — масса частицы,  — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке ,  — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

1.2. Случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае пси-функция является функцией трёх координат и в декартовой системе координат заменяется выражением

тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — потенциальная энергия в точке

1.3. Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2).

Зависимость функции от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции.

В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины в уравнении (2).

Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель .

В левой же части уравнения (3) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии.

Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

1.4. Получение уравнения Шрёдингера предельным переходом

Существует способ получить уравнение Шрёдингера, используя предельный переход к классической механике.

Рассмотрим оператор

Поскольку интеграл , взятый по всему пространству, есть величина постоянная (для нормированной функции равная 1) то:

(Звездочкой будем обозначать комплексное сопряжение) Подставляя сюда наш оператор (оператор со звездочкой — комплексно сопряженный, с тильдой — транспонированный):

Иначе:

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции , то отсюда следует, что тождественно , то есть оператор эрмитов. Чтобы выяснить смысл этого оператора, подействуем им на функцию (функция квазиклассической системы,  — медленно меняющаяся функция, -действие):

Пренебрегая первым членом в силу его малости получаем:

То есть — собственное значение нашего оператора. Но эта производная есть не что иное, как классическая энергия системы (функция Гамильтона). Поэтому этот оператор называют гамильтонианом или гамильтоновым оператором.

Мы не будем здесь приводить вывод оператора импульса (точнее, оператора величины, сохраняющейся в силу однородности пространства), приведем лишь результат:

Или в компонентах (оси …):

В том, что это есть оператор величины переходящей в классический импульс можно убедиться, тем же методом, что был предложен для гамильтониана.

Можно показать, что сохраняющаяся со временем величина, в частности импульс, измерима одновременно с энергией.

Поэтому мы предположим, что соотношение между операторами импульса и энергии совпадает с классическим соотношением между соответствующими величинами:

Но:

Таким образом:

Литература

  • Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
  • Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392с.

Примечания

скачать
Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 10.07.

11 01:04:33
Похожие рефераты: Нелинейное уравнение Шредингера, Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера, Кот Шрёдингера, Кот Шрёдингера (фильм), Представление Шрёдингера, Уравнение, Уравнение Риккати, Биквадратное уравнение.

Категории: Квантовая механика, Физические законы и уравнения, Дифференциальные уравнения в частных производных.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareA.

Источник: http://wreferat.baza-referat.ru/%D0%A8%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

ovdmitjb

Add comment