Изображение пространственных фигур на плоскости

Изображение пространственных фигур. Визуальный гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Как нарисовать пространственную фигуру так, чтобы было видно, что она объемная?

Есть несколько правил, применяя которые, ты всегда будешь получать красивые и понятные чертежи к своим задачам.

ЕСЛИ ТЕБЕ НУЖНА ЭТА СТАТЬЯ В ФОРМАТЕ PDF…

СКАЧАЙ ЕЕ ЗДЕСЬ!

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Итак:

Правило 1. Изображение линий в трехмерном пространстве

Все линии (ребра, высоты, линии сечения), которые были бы не видны, если бы то, что мы рисуем, было бы сделано из глины (например) изображаются индикатором. А все видные линии – сплошными.

Вот, смотри на несколько уже готовых чертежей, и поймешь, о чем речь.

Но возникает вопрос: а как вообще дойти до готового чертежа, где что-то должно быть сплошным, а что-то пунктиром?

Следующие правила как раз об этом.

Правило 2. Изображение квадратов и прямоугольников в трехмерном пространстве

Все квадраты и прямоугольники, которые лежат в горизонтальной плоскости, нужно изображать параллелограммами, а прямоугольные треугольники – с острым углом, вместо прямого.

Вот:

Не так А так

Не так А так

Видишь, похоже, будто треугольники прямоугольник лежат в плоскости.

Правило 3. Изображение кругов в трехмерном пространстве

Все круги превращаются в овалы (тоже в горизонтальной плоскости)

Не так А так

Правило 4. Изображение пирамиды

Когда рисуешь треугольную пирамиду, нужно сперва нарисовать «косой» четырехугольник

А потом добавить еще два ребра

И никогда ничего не сольется! Можно смело переводить высоту и строить сечения:

С четырехугольной пирамидой сложнее, но тоже разумно сперва прорисовать контур, а потом добавлять ребра.

Но только в исходном четырехугольнике одна из сторон должна быть параллельна взгляду:

А потом проводим параллельные:

И осталось только соединить

Получилась красивая пирамида – Хеопс тоже не отказался бы.

Потом из центра основания провести перпендикуляр, чтобы легче найти вершину.

И потом уже соединить вершину с вершинами основания.

И не думай, что шестиугольная пирамида получится с первого раза – нужно тренироваться!

Правило 5. Изображение параллелепипеда и призмы

Тут сперва нужно нарисовать основание в виде параллелограмма

Потом одну боковую грань

А потом все остальные – и главное – соблюдать параллельность.

Если нужно изобразить треугольную призму, то рисовать нужно так, чтобы угол треугольника смотрел на нас – живее получится.

Вот,

Не так А так

А затем боковые ребра

И потом верхнее основание

Шар

1- Круг

2- Добавим две дуги, чтобы получился такой овал с острыми краями. И ставим центр.

Цилиндр

1- Овал+центр

2- Две образующие

3- Еще один овал

Конус

1- Овал

2- Угол

Обрати внимание: образующие (стороны угла) касаются основания, поэтому центр основания и две точки на нём не лежат на одной прямой (в отличие цилиндра).

Изображение пространственных фигур. коротко о главном

Как нарисовать пространственную фигуру так, чтобы было видно, что она объемная?

Все линии (ребра, высоты, линии сечения), которые были бы не видны, если бы то, что мы рисуем, было бы сделано из глины (например) изображаются индикатором. А все видные линии – сплошными.

Вот, смотри на несколько уже готовых чертежей, и поймешь, о чем речь.

Но возникает вопрос: а как вообще дойти до готового чертежа, где что-то должно быть сплошным, а что-то пунктиром?

Если не знаешь ответ на этот вопрос – прочитай подробную теорию ВЫШЕ.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это – не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Источник: https://youclever.org/book/izobrazhenie-prostranstvennyh-figur-1

Изображение пространственных фигур на плоскости

Министерство образования и науки Красноярского края

КГБОУСПО «Красноярский педагогический колледж № 1

им. М.Горького»

Реферат

по математике

Изображение пространственных фигур на плоскости

Выполнила: Сотникова Ольга Александровна

Студентка 13 гр.

отделения «Преподавание в начальных классах»

Проверил:

_________________________

Красноярск, 2013

Введение………………………………………………………………………………….… 1.2. Трёхмерная система координат………………………………………… Заключение………………………………………………………………………………….Список используемой литературы…………………………………………………………

11245

Введение

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур.

Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул.

Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

1.1. Основные аксиомы стереометрии

В стереометрии к понятиям планиметрии добавляется еще одно – плоскость, а вместе с ним – аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

1) Аксиома 1 – через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. (рис.1)

Рисунок 1.

2) Аксиома 2 – через любые две точки пространства проходит единственная прямая. (рис.2)

Рисунок 2.

3) Аксиома 3 – если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. (рис.3)

Рисунок 3. 1

Третья аксиома играет очень существенную роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке.

К трем указанным так же присоединяются планиметрические аксиомы, переосмысленные, с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями.

Например, аксиому прямой – через две различные точки можно провести одну и только одну прямую – переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

Данные аксиомы широко применяются в построении фигур в стереометрии.

1.2. Координатная плоскость в стереометрии.

В отличие от планиметрии, в которой плоскость определяется только 2-мя осями – осью x(абсцисс) и y(ординат), в стереометрии добавляется 3-я ось – ось z(аппликат). Данная ось уходит вперёд, как показано на рис.4. Но для удобства построения координатные оси стали изображать так, как показано на рис.5.

Рисунок 4. Рисунок 5.

В стереометрии координат точки в пространстве 3: абсцисса точки, ордината точки, аппликата точки.

А(1,1,1)

или

А=(1,1,1)

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

1А,1А,1А

и т.п.

2

Рисунок 6.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты расстояние (расстояние берётся со знаком минус).

То есть, еслибы, например, точка В лежала не как на рисунке – на луче ОХ, а на его продолжении в обратную сторону от точки О (на отрицательной части оси ОХ), то абсцисса х точки А была бы отрицательной (минус расстоянию ОВ).

Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые.

Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис.6 изображена правая координатная система).

Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п.

(положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ).

Чтобы изобразить, например куб в трёхмерной системе координат необходимо знать длины сторон данного квадрата. К примеру, построим куб со стороной 1 и вершинами О,С,Т,В,D,R,A,S (рис.7). Тогда координаты вершин этого куба:

О (0,0,0)

С (0,1,0)

Т (1,1,0)

В (1,0,0)

D (0,0,1)

R (0,1,1) 3

A (1,1,1)

S (1,0,1)

Рисунок 7.

Заключение

Благодаря существованию трёхмерной системы координат можно построить любую объемную фигуру, такую как параллелепипед, пирамида, призма и др. Данной системой координат пользуются и в физике, и в астрономии и в других науках, в которых необходима точность построения.

4

Список используемой литературы:

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений.

Атанасян Л. Геометрия10-11 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений.

Е.В.Потоскуев, Л.И. Звавич Геометрия 11 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений.

5

Источник: http://kursak.net/izobrazhenie-prostranstvennyx-figur-na-ploskosti/

Параллельное проектирование и его свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости

Урок 21

Тема. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости

Цель урока: формирование знаний о параллельное проектирование. Изучение свойств параллельного проектирования. Дать представление об изображении пространственных фигур на плоскости.

Оборудование: стереометрический набор.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при решении домашней задачи.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1) Точка О лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и b, которые проходят через точку А, пересекают плоскость а в точках A1 и B1, а плоскость β – в точках А2 и B2 соответственно. Найдите OB1, если А10 : А1А2 = 1 : 3, B1B2 = 15 см. (6 баллов)

2) В кубе ABCDA1B1C1D1 постройте сечение плоскостью, проходящей через точки А, В, К, где точка К – середина ребра СС1. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Вариант 2

1) Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1 и А2, С2 соответственно. Найдите ВС1, если А1В : А1А2 = 1:3, ВС2 = 12 см. (6 баллов)

Вариант 3

1) На параллельных плоскостях α и β выбраны по паре точек А1, А2 и В1, В2 соответственно так, что прямые A1B1 и А2В2 пересекаются в точке О, которая лежит между плоскостями. Найдите ОА1, если А1В1 = 6 см, OB2 : ОА2 = 3. (6 баллов)

2) Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, М, N, где точки М и N – середины ребер ВВ1 и DD1 соответственно. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Вариант 4

1) На параллельных плоскостях α и β выбраны по паре точек А1, А2 и В1, В2 соответственно так, что прямые А1В1 и A2B2 пересекаются в точке О, которая лежит между плоскостями. Найдите ОА1, если А1В1 = 6 см, ОВ1 : ОА2 = 3. (6 баллов)

2) Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, С, М,. где точка М – середина ребра А1В1. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Ответ. Вариант 1. 1) 5 см; 2) см. Вариант 2. 1) 3 см; 2) см.

Вариант 3. 1) 1,5 см; 2) 4см. Вариант 4. 1) 3 см; 2) 3 + 2 см.

II. Восприятие и осознание нового материала

Параллельное проектирование и его свойства

Для изображения пространственных фигур в стереометрии пользуются параллельным проектированием. Вспомним, что это такое.

Пусть дано произвольную плоскость α, точка А (рис. 83) и прямую h, которое пересекает плоскость α. Проведем через точку А прямую, которая параллельна h, она пересекает плоскость α в некоторой точке А1. Найденную таким образом точку А; называют параллельной проекцией точки А на плоскость α в направлении h. Прямую h называют проектуючою прямой, плоскость α – плоскостью проекций.

Чтобы построить проекцию какой-либо фигуры, надо спроектировать на плоскость проекции каждую точку данной фигуры (рис. 84). Приведем некоторые свойства параллельного проектирования.

Теорема.

1) отрезки изображаются отрезками;

2) параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками или отрезками одной прямой;

3) отношение длин параллельных отрезков и отрезков одной прямой сохраняется.

Доведение

1) Все прямые, которые проектируют точки отрезка АВ лежат в одной плоскости β, которая пересекает плоскость α по прямой А1В1 (рис. 85). Следовательно, проекцией отрезка есть отрезок, причем произвольная точка С отрезка АВ изображается точкой С1 отрезка А1В1.

2) Пусть отрезки АВ и CD, которые проектируются, параллельные. Все прямые, которые их пересекают и параллельные h, заполняют или части одной плоскости (рис. 86), или параллельных плоскостей (рис. 87).

Эти части плоскостей пересекают плоскость а соответственно или по отрезкам одной прямой, или по параллельным отрезкам А1В1 и С1D1.

3) Если отрезки АВ и СВ, которые проектируют, размещены на одной прямой (см. рис. 85), то по теореме о пропорциональных отрезках имеем: А1С1 : С1B1 = АС : СВ.

Если отрезки АВ и CD параллельны, а их проекции А1B1 и C1D1 лежат на одной прямой (см, рис. 86), то АВВ2A2 – параллелограмм. В этом случае A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD.

Наконец, если проекции А1В1 и С1D1 данных отрезков АВ и CD не лежат на одной прямой (см. рис. 87), то построим параллелограмм CDKB. Его проекция – параллелограмм СDKВ.

Итак, имеем: А1В1 : C1D1 = А1В1 : В1К1 = АВ : ВК = АВ : CD.

Доказательства третьего утверждения теоремы можно опустить, ограничившись пояснениями, которые сделаны в учебнике.

Выполнение упражнений

1. При каком положении отрезка относительно плоскостей проекции его проекция: а) равна самому отрезку; б) есть точка?

2. Отрезок проецируется параллельно на плоскость. Как проектируется середина отрезка на эту плоскость?

3. Может ли проекция отрезка быть больше отрезка, который проектируют?

4. Могут непараллельные прямые проектироваться в параллельные прямые? Приведите примеры.

6. Плоскость фигуры не параллельна направлению проектирования. В какую фигуру проектируется: а) треугольник; б) параллелограмм?

Изображение пространственных фигур на плоскости

Рассмотрены свойства параллельного проектирования позволяют наглядно изображать пространственные фигуры на плоскости.

Изображением фигуры называется любая фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.

Решение задачи № 37 из учебника (с. 22).

III. Домашнее задание

§2, п. 13; контрольный вопрос № 12; задача № 38 (с. 22).

 

Вопрос к классу

1) Как выполняется параллельное проектирование?

2) Что называется параллельной проекцией точки; фигуры?

3) Что является параллельной проекцией прямой; двух параллельных прямых?

4) сохраняется при параллельном проектировании длина отрезков; величина углов?

5) В каком случае отношение длин проекций отрезков равно отношению длин отрезков, которые проектируют?

6) Отрезок А1B1 – параллельная проекция отрезка АВ на плоскость α (рис. 89). Точка С лежит на отрезке АВ. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие – неправильные:

а) проекция точки С на плоскость α не принадлежит отрезку А1B1;

б) отрезки АВ и А1В1 не лежат в одной плоскости;

в) если AC : B: C = 2 : 3, то А1C1 : С1В1 = 2 : 3;

г) если АС = СВ, то А1С1 = 2С1В1;

д) если АС = 3 см, АВ =12 см, то А1С1 : А1В1 =1: 4.

Источник: http://na-uroke.in.ua/21-143.html